引言
我们从小就看惯了对称图形。例如，蝴蝶的左右对称，小桥流水的对称（图0.1）。
图0.1反射对称
纸风车的对称，凤凰卫视台标的对称（图0.2）。
图0.2旋转对称
还有花瓣围绕着花蕊的对称，在“几何”课程中非常熟悉的正六边形的对称（图0.3）。
图0.3反射对称与旋转对称
将正六边形A1A2A3A4A5A6放在以它的中心O为原点，一条半径为x轴的直角坐标系中。当整个平面围绕着原点。逆时针旋转60°，120°，180°，240°，300°角时，正六边形仍然落在原来的图形上。换言之，旋转后的正六边形与原来的图形重合，尽管除原点外，其他各点的位置都发生了改变。当然，如果转过360°角，就与原来的图形点点相符了另一方面，记B1，B2，B3分别是正六边形的边AIA2'A2A3，A3岛的中点，那么当平面沿着OA1，OB1，OA2，OB2，OA3，OB3这6条直线的任意一条为轴进行翻折后，正六边形仍然落在原来的图形上。也就是说，翻折后的正六边形与原来的图形重合，尽管除对称轴上的点外，其他各点的位置都发生了改变。
上面的几个图形都是有界的，平面对称图形也可以是无界的例如，女同学裙子的花边可以看成下述无限延伸的图形的一部分（图0.4和图0.5）。
图0.4平移对称
图0.5滑动反射
图0.6是在家庭或宾馆墙壁上常见的墙纸。
图0.6沿两条相交直线的平移
同学们早己在小学和中学的数学课上听到过旋转、翻折和平移这几个名词，并且看到过关于它们的演示。今后按照惯例，将翻折称为平面反射，对称轴为反射轴。
那么自然会问：正六边形只有上述12种形式的对称吗？平面无界图形的对称是怎么回事呢？圆是人们认为对称性*强的平面图形，它的对称性是怎样描述的呢？
空间的对称现象更是俯拾皆是的，如正多面体的对称、球面的对称。大自然的树木花草、鸟兽鱼虫，人类的城市布局、殿堂楼宇，随处可见对称的现象。
对称这件事情，人类从五千年前的古埃及时代就已经注意到了在古埃及留下的壁画中，有很多美丽的对称图形。尽管人类早已注意到了图形的对称现象，但是关于对称性的数学含义，直到四百年前欧洲的文艺复兴时期，才由意大利艺术家、科学家达 芬奇揭示出来。到了19世纪中叶，天才的数学家伽罗瓦奠定了现代代数学的理论基础。图形的对称问题就成为理论大厦中一个有趣的特例。
在中学阶段，“平面图形的对称性”主要是借助于图形的直观来描述的能否用数学的方法来精确地定义“对称”呢？在本书中，将基于代数学的基本概念，为读者介绍平面图形和一些空间图形对称性的数学理论，并给出数学推导。这些推导只涉及中学的平面几何、立体几何、解析几何、代数学和三角学中的知识。本书可以作为中学生的课外读物，或者高中数学课外小组活动的读本，也可以作为大学一、二年级学生“高等代数”和“抽象代数”课程的参考资料。
第1章 平面刚体运动
刚体运动是一个熟知的物理学现象，那么在数学上是怎样刻画刚体运动的呢？
探讨这个问题的出发点是平面到自身的映射。我们都了解集合以及集合之间的映射，如果一个映射是从一个集合映到自身，则称之为该集合的一个变换（transformation）。
在平面上建立直角坐标系O-xy，于是平面上的点P就与点的坐标（x，y）一一对应，通常记作P（x，y）。同时，点P也与以原点为起点，P点为终点的平面向量一一对应，通常记作OP。在本书中，不再区分点的这三种表达形式，而将按照讨论的方便采用其中任意一种。将平面上点的坐标的集合记作R×R，或者简记作R2。根据约定，也可以将它看成平面。平面的变换记作f：R2→R2。
如果还有一个平面变换g，则可以定义g与f的乘积f g：R2→R2（f g）（P）=f（g（P）），也就是说，任取平
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