第1章 什么是尺规作图
我们知道，*早将平面几何理论化，并且在世界上写出**本几何书籍《几何原本》的是希腊几何学家欧几里得（Euclid，公元前300年前后）。他用公理方法定义了点、直线、圆、平面、空间等，引进了5条几何公理。利用逻辑推理的手段，严格地证明了各种各样的平面和立体几何的性质，建立了完整的几何理论。这个理论*基本的部分成为中学生都必须掌握的数学内容之一。
现在的中学教科书有这样一个结论：任意角是不能三等分的，没有解释，也没有证明这使我们萌发了一个想法，写一个通俗小书，给出这个结论的实质含义、历史上所处的地位、对数学发展的作用，并且给出完整的证明，希望对中学生有所帮助，提高中学生对学习数学的兴趣，也希望对老师们有参考价值。
本书的目的是介绍从公元前两千多年到公元前五百多年才正式提出来的三大几何难题，即"倍立方问题"、"化圆为方问题"和“任意角三等分问题”。直到19世纪，这三大著名几何难题才被数学家解决，证明了它们都是不可能的在彻底解决以前，很多数学家投身于这些工作。虽然没有解决，但是通过对这些问题的研究，产生了各种很重要的数学概念，从而推动了数学的发展。历史的轨迹有很大的启发性，从中可以看出创新工作所起的决定性作用。
当然，这三大著名几何难题也派生出一些其他有趣的数学问题，但是那些问题对数学发展的推动作用不如三大几何难题，所以就不打算讨论了，在适当的地方会提到。
这三大几何难题之所以拖了这么长的时间，原因在于，在远古时期还没有度量衡制度，生产方式很原始。因此，这些问题加了一个很强的条件，即要求在尺规作图的限制下解决这三大问题。问题之所以拖了几千年才能解决，其难点也正好在尺规作图的很强限制下。
因此，先在第1章中介绍什么叫"尺规作图"，在第2章用现代数学的语言描述三大几何作图问题是什么样的问题，从第3章开始，一步步证明这三大几何问题是不可能的。
我们力图让中学生能够看懂证明，虽然为了解决问题，要用一些中学教科书中不注意的观念。例如，要整体考虑实数的子集。这个子集中，任意两个数作四则运算后仍在这个集合中。当然大家知道，从数值1出发作加法和减法可得到整数集。再从整数集出发作乘法和除法可得到有理数集。
书名是《角能三等分吗》，原始问题是要给出一种算法，使得任意角用这种算法可以三等分。将要证明这是绝对不可能做到的但是对一个具体的角，有些是可以三等分的实际上，己经知道，直角和平角是可以三等分的。
写作的方式是在介绍了古代三大几何难题后，从数学历史的角度说明这些问题对数学发展的作用，并给出中学生完全能够接受的证明方法。期望对读者的数学能力有所提高，数学兴趣有所增强。从中可以看出，数学创新中*难的部分是新的概念、新的思维方式的引进。而这些对创立一个新的数学分支起了决定性的作用。
定义1.1 平面几何学中用有限次不带刻度的直尺画直线和用不带刻度的圆规画圆，称为"尺规作图"
这里要注意以下两点：
（1）用这种直只，虽然量不出给定两点间的距离有多长，但是可以借助于直只和圆规，即用尺规作图，画出同样长度的线段；
（2）用这种圆规，虽然量不出给定角的角度是多少，但是可以借助于直尺和圆规，即用尺规作图，画出同样角度的角。
定义1.2 平面几何中的问题称为"作图问题"，是指在给定一些"基础"点后，经过尺规作图画出所要求的图形。
下面用几个例子来说明什么叫几何作图问题。
例1.1 给定线段AB，求它的垂直平分线。
解 作图步骤如下：给定线段AB如图1.1所示。将圆规的两脚拉成略小于线段AB的长度，再分别以点A及点B为圆心作两圆（半径相同）。这两圆分别交于点C及点D，则C和D的连线是线段AB的垂直平分线，即线段CD和线段AB相交于点E，且有|AE|=|BE|，又有AB⊥CD。
图1.1
证明 由于点C和点D是两个同半径的圆的交点，则有|AC|=|AD|=|BC|=|BD|，这证明了ADBC为菱形（即四条边长度相同的凸四边形）。而线段AB和线段CD是这个菱形的两条对角线，所以自然地互相垂直平分。证毕
例1.2 给定线段AB及过点A，B的直线外一点P，过点P作线段PQ，使得PQ和AB平行。
解 作图原理为两直线平行，则同位角相等，所以作图步骤如下：给定线段AB及线段外一点P如图1.2所示，点A和P连线并延长至点C。将圆规的两脚拉开一些，再以点A及点P为圆心作两圆（半径相同）。以点A为圆心的圆交线段AP与线段AB分别于点D与E。以点P为圆心的圆交线段PC于点F。再将圆规的两脚拉开，使得一脚放在点D上，另一脚在点E上。不改变圆规两脚的位置，将一脚放在点F上，以点F为圆心作圆，交以P为圆心的圆周于点Q。点P和点Q连线，则由于线段DE和线段FQ的长度相等，所以∠DAE=∠FPQ。因此，同位角相等，所以AB平行于PQ。证毕。
图1.2
例1.3 给定三个线段AB，GD，EF，它们的长度分别为|AB|=c，|GD|=a，|EF|=b，画出长度为x=ab/c的线段。
解 作图原理为利用平行线割线段，则线段的长度成比例。具体作法如下：在平面上取定点O，过点。作两条射线L1和L2如图1.3所示。在射线L1上取点X，Y，使得|OX|=|AB|=c，|XY|=|GD|=a。在射线L2上取点Z，使得|OZ|=|EF|=b。过点Y，用例1.2的方法，作平行于线段XZ的线段，它交射线L2于点W，则有
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