本书简要介绍了代数结构、几何结构、Lie群和Lie代数等基本理论，运用Lie对称方法研究了光纤通信等领域中五个非线性系统的一些对称性质和解析解。系统研究了GDNLS方程、DEGM系统、DR系统和Maccari系统的Lie点对称、Lie对称约化、对称变换、非线性自伴性和守恒律。运用Painleve截断展开方法导出了GBK系统的非局部对称，研究了CRE可积性，得到了单孤波解，双共振孤波解和孤波-椭圆波相互作用解。作者希望这些结果对在非线性光纤中实现超高速、大容量的光信息传输提供一定的理论支持，希望有助于进一步研究在同一非线性介质中传播的长波和短波之间的相互作用，理解浅水中可能出现的孤波、共振孤波和孤波-椭圆波相互作用等自然现象。

第1章 代数结构
1.1 代数系统
1.1.1 集合
1.1.2 映射
1.1.3 代数运算
1.1.4 同态与同构
1.1.5 等价关系与分类
1.2 群
1.2.1 群的基本概念
1.2.2 群中元素的阶
1.2.3 子群
1.2.4 群同态与群同构
1.2.5 循环群
1.2.6 变换群
1.2.7 陪集
1.2.8 正规子群与商群
1.2.9 群同态与群同构定理
1.3 环
1.3.1 环的基本概念
1.3.2 环同态与环同构
1.4 域
1.4.1 域的基本概念
1.4.2 域的例子
第2章 几何结构
2.1 拓扑空间
2.1.1 拓扑空间的基本概念
2.1.2 闭集、闭包、内点、内部和聚点
2.1.3 连续映射与同胚映射
2.2 拓扑群
2.3 微分流形
2.3.1 微分流形的概念
2.3.2 微分流形的例子
2.3.3 切空间
2.3.4 子流形
2.3.5 Frobenius定理
第3章 Lie群与Lie代数
3.1 Lie群
3.1.1 Lie群的概念
3.1.2 Lie群的例子
3.2 Lie代数
3.2.1 Lie代数的概念
3.2.2 Lie代数的例子
3.3 Lie群与Lie代数的关系
3.4 Lie变换群
第4章 非线性演化方程研究概况
4.1 孤波和怪波
4.2 解析方法
4.3 Painleve可积及检测
4.4 CRE可积与CTE可积
第5章 Lie对称方法
5.1 Lie对称方法发展简史
5.2 代数方程的对称性
5.2.1 集合与函数的不变性
5.2.2 函数相关性与不变量的构造
5.3 微分方程的对称性
5.3.1 对称群的概念
5.3.2 微分延拓
5.3.3 群不变解
5.4 局部对称
5.4.1 经典对称
5.4.2 条件对称
5.5 非局部对称
5.6 对称与守恒律
5.6.1 非线性自伴
5.6.2 守恒律
第6章 GDNLS方程的Lie对称研究
6.1 GDNLS方程的研究现状
6.2 Lie对称约化
6.3 周期波解与孤波解
6.3.1 周期波解
6.3.2 结形孤波解
6.3.3 钟形孤波解
6.4 非线性自伴与守恒律
6.5 本章小结
第7章 DEGM系统的Lie对称研究
7.1 DEGM系统的研究现状
7.2 Lie点对称
7.3 常系数DEGM系统的Lie对称约化与解析解
7.3.1 Lie对称约化
7.3.2 解析解
7.4 Lie对称变换
7.4.1 常系数DEGM系统的Lie对称变换
7.4.2 时变系数DEGM系统的Lie对称变换
7.5 非线性自伴与守恒律
7.5.1 非线性自伴
7.5.2 守恒律
7.6 本章小结
第8章 DR系统的Lie对称研究
8.1 DR系统的研究现状
8.2 Lie点对称
8.3 Lie对称约化与解析解
8.4 非线性自伴与守恒律
8.4.1 非线性自伴
8.4.2 守恒律
8.5 本章小结
第9章 .Maccari系统的Lie对称研究
9.1 Maccari系统的研究现状
9.2 Lie点对称
9.3 Lie对称约化与解析解
9.3.1 首次约化
9.3.2 二次约化
9.3.3 解析解
9.4 Lie对称变换
9.5 广义非线性自伴和守恒律
9.5.1 广义非线性自伴
9.5.2 守恒律
9.6 本章小结
第10章 GBK系统的非局部对称与CRE分析
10.1 GBK系统的研究现状
10.2 非局部对称
10.3 CRE可积性与CTE可积性
10.3.1 CRE可积性
10.3.2 CTE可积性
10.4 解析解
10.4.1 孤波解
10.4.2 孤波-椭圆波相互作用解
10.5 本章小结
参考文献