中国科学院数学研究所一批中青年学者发起组织了数学所讲座，介绍现代数学的重要内容及其思想、方法，旨在开阔视野，增进交流，提高数学修养。本书的文章系根据2019年数学所讲座的8个报告中的7个报告，按报告的时间顺序排序，具体内容包括：Hecke代数简史，Fourier与Fourier分析，高维黎曼问题，丢番图问题、算术几何与凸几何，有限复叠与曲面的映射类群，全正性、丛变异和泊松结构，纳维-斯托克斯方程的研究——成就与挑战等。 本书可供数学专业的高年级本科生、研究生、教师和科研人员阅读参考，也可作为数学爱好者提高数学修养的学习读物。

1漫谈Hecke 代数的范畴化
　　单芃à
　　摘要
　　Hecke 代数是表示论中的重要研究对象. 范畴化将Hecke 代数与李代数的表示和旗流形的几何紧密地结合在了一起， 极大地推动了李理论的发展. 本文*先介绍了Hecke 代数的定义和基本结构， Hecke 代数与李型群的卷积代数的关系和Kazhdan-Lusztig 定义的典范基及其背景. 之后重点介绍了Hecke 代数三个*著名的范畴化， 分别是Kazhdan-Lusztig通过旗流形上的斜截层范畴给出的范畴化、Soergel 双模的范畴化和Elias-Williamson 的图范畴化， 以及它们在李理论中的应用.á
　　1.1 Iwahori-Hecke 代数
　　1.1.1 Coxeter 群
　　群是研究对称的工具. 线性空间中， *常见的一类对称是反射， 即关于平面的镜像. 由反射生成的群称为反射群. 在我们熟知的数学对象中， 有丰富的反射群的例子， 比如二面体群、n 个元素的置换群Sn， 以及半单李代数对应的Weyl 群等.Coxeter 发现所有的反射群对结构都可以用生成元和关系的形式来表达:
　　(1.1.1)
　　这里S是W作为群的一组生成元， mst 是依赖于 s 和 t 的正整数. 由群中元素可逆性， 关系 也可写成 s， t 的交错乘积的等式.这里等式两边乘积的长度均为 mst.
　　定义 1.1.1 (Coxeter) 具有形如 (1.1.1) 的表达形式的群W称为Coxeter群; (W， S) 称为Coxeter 系统.
　　例1.1.1 置换群由初等置换 生成. 它们满足的关系是
　　因此是一个Coxeter 群. 当时， ; 当时， .
　　Coxeter 群W中的元素 w 总可以写成S中元素的乘积. 所有写法中长度*短的称为 w 的约化表达. 注意约化表达并不唯一， 但它们的长度总是相同的. 这个长度称为 w 的长度， 记为 l(w). 在W上有一个良定的偏序关系，称为Bruhat 序， 它是由以下关系生成的:
　　1.1.2 Iwahori-Hecke 代数的定义
　　本文的主角Iwahori-Hecke 代数是Coxeter 群W的群代数的一个形变代数. 令v是一个不定元.
　　定义 1.1.2 Coxeter 系统 (W， S) 的Iwahori-Hecke 代数 (以下简称Hecke 代数) Hv(W， S) 是一个含幺的-代数. 它的生成元是， 满足的
　　关系是
　　由定义可以证明， 对， 任意选取约化表达， 乘积只与 w 有关， 而不依赖于约化表达的选取; 并且作为-模的一组基， 称为标准基.
　　对于任意环同态， 令， 从而将Hecke 代数变成R-代数. 特别地， 由得到的代数就是W的群代数ZW. 因此说Iwahori-Hecke 代数是ZW的形变代数.
　　1.1.3 卷积代数
　　事实上， Hecke 代数起源于群论中的卷积代数.
　　对任意的有限群G， 它在域 k 上的群代数 kG作为线性空间是由形如的元素组成的， 其中， 乘法规则是
　　注意到 kG中的元素等同于函数. 因此， 作为线性空间， kG同构于所有映射构成的函数空间 k[G]. 在这个同构下kG上的 乘法对应函数空间上的下述乘法: 对，
　　这个乘法称为卷积乘法.
　　更一般地， 对G的子群H， 考虑H上平凡表示 k 的诱导表示
　　定义 1.1.3 称的自同态代数为 (G，H) 的Hecke代数， 记为H(G，H).
　　作为线性空间， 在下述同构下
　　H(G，H) 同构于G上在H的左乘和右乘作用下均不变的函数构成的空间， 也就是双陪集HnG/H上的函数空间，
　　它作为自同态环的乘法结构对应于 k[HnG/H] 上的卷积:
　　(1.1.2)
　　事实上， 这个Hecke 代数的定义适用于任意局部紧的拓扑群G和它的闭子群H G. 这时只需用G上具有紧支集的 H左右作用不变的函数构成的子环来取代k[HnG/H]， 将求和换成积分， 就可以依照同样的方式定义卷积代数.
　　历史上， Iwahori 和Matsumoto *早使用这类Hecke 代数来研究李型群的诱导表示的分解问题. 直到今天， Hecke 代数仍然是拓扑群、p 进群、有限李群的表示研究中的重要工具. 当G是有限李群， H是Borel 子群时， 这个Hecke 代数是我们上一节介绍的Iwahori-Hecke 代数的一个特例.
　　令F是有限域Fq 的代数闭包. G是Fq 上分裂 (split) 的连通约化代数群.它的Fq 点Gq = G(Fq)是一个有限李群. 令分别是G中在Fq 上分裂的极大环面和Borel 子群， 令Tq = T(Fq)， Bq = B(Fq). 记NG(T) 是T在G中的正规化子. Weyl 群W = NG(T)/T是一个Coxeter 群. 由Bruhat 分解理论，包含映射诱导一个双射
　　(1.1.3)

目录
前言
1 漫谈Hecke 代数的范畴化 单芃
1.1 Iwahori-Hecke 代数 1
1.1.1 Coxeter 群 1
1.1.2 Iwahori-Hecke 代数的定义 2
1.1.3 卷积代数 2
1.1.4 典范基 5
1.1.5 范畴化 6
1.2 Hecke 代数与旗流形上的斜截层 7
1.2.1 Grothendieck 层与函数对应 7
1.2.2 旗流形上的导出范畴 8
1.2.3 斜截层范畴 10
1.2.4 范畴O与局部化理论 11
1.2.5 意义与推广 14
1.3 Hecke 代数与Soergel双模 14
1.3.1 Soergel双模 14
1.3.2 Soergel双模的几何背景 16
1.3.3 Elias-Williamson 的证明 17
1.3.4 意义 17
1.4 Hecke代数与图范畴 18
参考文献 19
2 Fourier 与 Fourier 分析 范爱华
2.1 引言 20
2.2 谁是 Fourier? 20
2.2.1 Fourier 简介 20
2.2.2 拿破仑与法国大革命 22
2.2.3 谁是 Fourier？ 23
2.2.4 考古学家: 埃及行 24
2.2.5 政治家 Fourier: 两任省长 26
2.2.6 物理学家 Fourier: 热传导方程和温室效应 27
2.2.7 数学家 Fourier: Fourier 级数与 Fourier 变换 28
2.2.8 Fourier 的前辈: Bernoulli， Euler， d’Alembert， Lagrange 29
2.2.9 被遗忘的 Fourier: 遗忘与重生 32
2.2.10 纯数学与应用数学之争: 为民服务还是为了人类精神之荣耀？ 33
2.3 Fourier 的贡献 33
2.3.1 《热的解析理论》 33
2.3.2 Fourier 方法: 无限长方棱柱体内热平衡态 33
2.3.3 热亦数控 (Et ignem regunt numeri): 科学院大奖 35
2.3.4 《热的解析理论》的前言 36
2.4 Fourier 级数的收敛性: Dirichlet 定理 37
2.4.1 Dirichlet 37
2.4.2 Dirichlet 定理 38
2.4.3 Fourier 级数的收敛性研究 39
2.4.4 正交级数的收敛性 40
2.4.5 数论与 Dirichlet 级数 41
2.5 三角级数表示的函数: Riemann 求和法 42
2.5.1 Riemann 和他的任教资格论文 42
2.5.2 Riemann 理论 42
2.5.3 Riemann 积分 43
2.5.4 Riemann 之后某些特殊三角级数和函数的研究 46
2.6 三角级数的唯一性问题: Cantor 的集合论 49
2.6.1 Cantor 的唯一性定理: 集合论的**篇文章 49
2.6.2 唯一性集和多重性集的研究 50
2.6.3 Rajchman 测度和 Riesz 乘积测度 53
2.7 Lebesgue 积分和三角级数 56
2.7.1 Lebesgue 积分 56
2.7.2 Lebesgue 积分应用于三角级数: Fourier 分析的新起点 56
2.8 20 世纪法国的 Fourier 分析 58
2.9 结束语 61
参考文献 62
3 高维黎曼问题 陈恕行
3.1 从一维黎曼问题说起 65
3.2 高维黎曼问题的困难 67
3.3 简化方程组的高维黎曼问题 70
3.4 高维黎曼初边值问题 74
3.5 结语 76
参考文献 77
4 丢番图问题、算术几何与凸几何 陈华一
4.1 引言 80
4.2 紧黎曼*面的代数性质 90
4.2.1 全纯函数芽 91
4.2.2 全纯函数芽的赋值 92
4.2.3 局部环层空间 93
4.2.4 黎曼*面 96
4.2.5 亚纯函数 101
4.2.6 除子 105
4.3 有理函数域的算术 107
4.3.1 绝对值 108
4.3.2 赋范线性空间 113
4.3.3 有理函数域上的绝对值 132
4.3.4 有理函数域上的算术向量丛 135
4.3.5 注记 143
4.4 绝对值的扩张 147
4.4.1 赋超范 Banach 空间的分析 147
4.4.2 完备绝对值与范数的扩张 159
4.4.3 一般绝对值的扩张 168
4.4.4 代数函数域的算术 171
4.5 代数数域的几何 179
4.5.1 代数数域上的算术向量丛 180
4.5.2 数域的 Riemann-Roch 定理 184
4.5.3 Harder-Narasimhan 理论 189
4.6 算术射影簇 200
4.6.1 线丛上的度量 200
4.6.2 度量族 204
4.6.3 Arakelov 高度 206
4.6.4 射影概形的高度 208
4.6.5 Hilbert-Samuel 定理 212
4.7 代数几何和算术几何中的凸分析方法 214
4.7.1 半群代数的组合 214
4.7.2 环面簇 217
4.7.3 Newton-Okounkov 凸体 220
4.7.4 算术分次线性系的凹变换 226
4.8 随机耦合与测度传输在算术几何中的应用 231
4.8.1 随机变量的耦合与 Hodge 指标定理 232
4.8.2 测度传输与相对 Brunn-Minkowski 不等式 235
4.8.3 测度传输与相对等周不等式 235
A 附录 238
A.1 Caylay-Hamilton 定理 238
A.2 整元 240
A.3 域的代数扩张 243
A.4 域上的可分有限代数 247
A.5 Galois 扩张 258
参考文献 259
5 有限复叠与*面的映射类群 刘毅
5.1 *面的映射类 268
5.2 Nielsen-Thurston 分类 270
5.3 几何化之后的三维拓扑 273
5.4 映射类与映射环 275
5.5 *面映射类的有限复叠提升 276
参考文献 278
6 全正性、丛变异和泊松结构 路江华
6.1 引言 280
6.2 全正性和丛变异 281
6.2.1 参数化和判别准则 281
6.2.2 正结构与全正性 283
6.2.3 环面坐标图的丛变异 284
6.3 Lusztig 全正性和 BFZ 丛结构 286
6.3.1 G 上的 Lusztig 全正结构 286
6.3.2 双 Bruhat 胞腔上的 BFZ 上丛结构 288
6.4 G 上的标准可乘泊松结构 291
6.4.1 泊松结构和 T-泊松坐标图 291
6.4.2 泊松李群 (G， πst) 292
参考文献 294
7 纳维-斯托克斯方程的研究——成就与挑战 李家春
7.1 关于题目 297
7.2 流体力学的两朵“乌云” 297
7.3 纳维-斯托克斯方程的精确解和渐近解 298
7.4 流动稳定性理论 300
7.5 走近湍流 301
结束语 303
参考文献 303