本书主要内容包括偏微分方程基础知识、Sobolev空间基本知识、Galerkin方法、有限元方法及其误差估计、泊松问题的其他数值方法、不可压缩Navier-Stokes问题有限元应用、修正的特征有限元方法和随机不可压缩流问题全离散有限元方法。有些章末附有课后练习，是对书中重点内容的升华和延伸。本书既有经典数值方法和理论，又有计算方法的新进展；不仅有算法的描述，同时还有算法的实现，可以满足各种读者不同的需要。 本书可作为高年级数学、计算机、通信工程专业等理工类本科生及研究生的教学用书，也可供相关专业的教师和研究人员参考。

第1章偏微分方程基础知识
　　1.1基本概念
　　本章我们简要地给出偏微分方程的相关概念[1-5]、分类和多变元的微积分Gateaux和Frechet导数.
　　.微分方程是由未知函数及其导数经初等函数运算构成的函数方程.
　　.未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程，简称ODE.
　　.未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程，简称PDE.
　　.方程中出现的未知函数*高阶导数的阶数称为微分方程的阶数.
　　.如果微分方程关于未知函数及其导数都是一次的，则称该方程为线性的，否则称为非线性的.
　　.对线性方程，如果所有非零项都含有未知函数或其导数，则称该方程为齐次的，否则称为非齐次的.
　　.对非线性方程，若关于*高阶导数是一次的，则称该方程为拟线性的，进一步若其系数仅依赖于自变量，则称为半线性的.
　　.关于未知函数在某个初始时刻的具体条件称为初始条件.
　　.关于未知函数在某个区域边界的具体条件称为边界条件(第一类边界条件又称Dirichlet条件:给出未知函数在边界上的数值;第二类边界条件又称Neumann条件:给出未知函数在边界外法线的方向导数;第三类边界条件又称Robin条件:给出未知函数在边界上的函数值和外法线的方向导数的线性组合).
　　关于未知函数的偏微分方程是指如下形式的方程:
　　这里F是x，u以及u的有限个偏导数的已知函数.如果将u(x)代入方程后，这个方程在Ω上成为恒等式，则称定义于Ω上的函数u=u(x)是方程在Ω上的解.
　　例1.1二阶线性
　　一阶拟线性
　　二阶非线性
　　1.2偏微分方程的分类
　　关于偏微分方程的分类[6]，我们主要讨论以下三个二阶偏微分方程:
　　波动方程
　　(1-1)
　　热传导方程
　　(1-2)
　　位势方程
　　(1-3)
　　这里a2是常数.
　　在m维空间中，二阶线性方程的一般形式为
　　(1-4)
　　这里ai，j，bi，c，f都是x的函数.因此上面提到的这三个方程只是它的特例，自变量t可看作x的任一分量.我们以A表示矩阵.
　　对于波动方程(双曲方程)，取，则
　　对于热传导方程(抛物方程)，取，则
　　对于位势方程(椭圆方程)，取
　　从矩阵A的特征值的性质来区别方程(1-1)—(1-3):对于波动方程，系数矩阵A除了有一个特征值是正(负)的，其他全是负(正)的，即A是不定的;对于热传导方程，系数矩阵A除了有一个特征值为0，其他全是正(负)的，即A是非负(非正)定的;对于位势方程，系数矩阵A的全部特征值为正(负)的，即A是正定(负定)的.
　　对一般二阶方程(2.4)，设表示Rm中的一个点，A(x0)表示在x0点的系数矩阵.
　　偏微分方程分类的定义若A(x0)的m个特征值全是正(或负)的，称方程(1-4)在x0点是椭圆型的.若A(x0)的特征值除了有一个为0，其他m.1个全是正(或负)的，称方程(1-4)在x0点是抛物型的.若A(x0)的特征值除了有一个为负(或正)，其他m.1个全是正(或负)的，称方程(1-4)在x0点是双曲型的.
　　由上定义可知，方程(1-1)—(1-3)分别为双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程.
　　1.3多变元微积分
　　本节主要讨论多变元微积分:Gateaux导数和Frechet导数[7-11].
　　1.3.1Gateaux导数
　　考虑更一般的映射(算子)
　　不强调它的定义域和值域时，把它表示成
　　设.由于，因此f(x)可以表示成
　　定义1.1对给定的，若极限
　　(1-5)
　　例1.2
　　例1.3
　　例1.4
　　定理1.1映射
　　(1-6)
　　证明
　　例1.5
　　1.3.2 Frechet导数
　　定义1.2
　　(1-7)

目录
前言
第1章　偏微分方程基础知识　1
1.1　基本概念　1
1.2　偏微分方程的分类　2
1.3　多变元微积分　3
1.3.1　Gateaux 导数　3
1.3.2　Prechet 导数　6
1.4　练习　9
参考文献　10
第2章　Sobolev空间基本知识　11
2.1　空间*和*　11
2.2　Lp 空间　12
2.2.1　Lp空间的定义　12
2.2.2　Lp空间的性质　13
2.3　广义导数　14
2.3.1　一阶广义导数　14
2.3.2　a阶广义导数　16
2.4　Sobolev 空间　17
2.4.1　一阶 Sobolev 空间*　17
2.4.2　k 阶 Sobolev 空间*　17
2.4.3　 *空间　18
2.4.4　迹算子　19
参考文献　20
第3章　Galerkin方法　21
3.1　背景　21
3.2　预备知识　21
3.3　变分问题　23
3.4　离散格式　23
3.5　Galerkin方法的适定性　25
3.5.1　存在唯一性　25
3.5.2　稳定性　25
3.5.3　收敛性　25
3.6　计算实例　27
3.7　练习　29
参考文献　31
第4章　有限元方法及其误差估计　32
4.1　背景与简介　32
4.2　拉格朗日插值基函数　33
4.2.1　网格剖分　33
4.2.2　线性有限元空间　34
4.2.3　基函数　34
4.3　泊松问题的有限元方法　40
4.3.1　泊松问题　40
4.3.2　计算流程　40
4.4　误差估计　43
4.4.1　偏微分方程的正则估计　43
4.4.2　H1范数下的误差估计　43
4.4.3　L2范数下的误差估计　46
参考文献　47
第5章　泊松问题的其他数值方法　48
5.1　非协调有限元方法　48
5.2　有限体积元方法　52
5.3　练习　55
参考文献　55
第6章　不可压缩Navier-Stokes问题有限元应用　57
6.1　定常Stokes问题　57
6.1.1　方程的变分　57
6.1.2　解的存在唯一性定理　59
6.1.3　稳定性　59
6.1.4　收敛性　60
6.2　Navier-Stokes问题　62
6.2.1　定常Navier-Stokes方程　62
6.2.2　非定常Navier-Stokes方程　63
6.2.3程序实现　65
6.3　Freefem计算程序　66
参考文献　72
第7章　修正的特征有限元方法　73
7.1　特征线方法　73
7.2　非稳态Navier-Stokes方程的修正特征有限元方法　75
7.2.1　非稳态Navier-Stokes方程　76
7.2.2　特征有限元离散　77
7.3　练习　78
参考文献　79
第8章　随机不可压缩流问题全离散有限元方法　80
8.1　预备知识　80
8.2　随机Stokes问题　87
8.3　时间半离散化　89
8.4　全离散的混合有限元方法　90
8.5　练习　91
参考文献　92
索引　93