第1章绪论
1.1惯容
惯容（inerter）是一种由剑桥大学Smith于2002年提出的新型机械元件。它被定义为一种双端点、单端口设备，拥有在两端点上施加等量反向的力时，力与两端间的相对加速度成正比的特性W。惯容的符号如图1.1所示。图1.1中的变量满足如下关系，即
(1.1）
其中，常数&称为惯容量（inertance），单位与质量相同；F为作用在惯容两端点的力；v1和v2为惯容两端点的速度。
惯容中储存的能量可以量化为
惯容被提出的原因是，机械系统与电路系统之间的力-电流类比是不完整的。众所周知，机械系统与电路系统的动力学非常相似。这些系统之间的力-电流类比可以将机械系统中的力和速度比作电路系统中的电流和电压。这样，机械系统中的惯性坐标系下的固定参考点、动能、势能可以类比成电路系统中的地、电能、磁能。如表1.1所示，从元件的角度来看，机械系统中的弹簧和阻尼器可以类比成电路系统中电感和电阻。在Smith提出惯容之前，机械系统中缺乏一种可与电路系统中电容类比的元件。质量块一直被视为与电路系统中电容（实际上是接地电容）相对应的机械元件。根据牛顿第二定律，质量块的加速度相对于惯性系中的固定参考点。这表明，质量块的一个端点接地，另一个端点是质量块的质心。
换句话说，质量块不是真正的双端点元件。与质量块相对应的电路元件实际上是一个接地电容。显然，将含弹簧-阻尼器-质量块的网络等效成由电感、电阻、电容组成的网络时存在性能方面的限制，因为所有的电容必须接地。
考虑力-电流类比之间的限制，Smith提出惯容。从惯容的定义可以看出惯容是具有与电容类似动态特性的真正双端点元件。惯容的提出使力-电流类比完备了，并且能直接用含电感-电阻-电容的电路网络等价代表含弹簧-阻尼器-惯容的机网络中新的对应关系如图1.2所示。
尽管提出惯容的原因是之前的力-电流类比不完善，但是惯容的特性并不依赖这个类比。从这个意义上讲，惯容对机械系统有一些独*的功能，如模拟较大的等效（虚拟）质量、与弹簧一起成为基本的机械储能元件等。
1.2网络综合
惯容的引入完成了含弹簧-阻尼器-惯容的机械网络与含电感-电阻-电容的电路网络之间的类比。因此，无源（passive）网络综合方法能直接用于设计基于惯容的机械网络。本节通过力-电流类比将电路网络综合中的定义和符号转换到机械领域。
考虑图1.3所示的双端点机械网络，如果任何允许的F和v在上都是平方可积的，那么网络是无源的M，即
(1.2）
其中，
式（1.2）的左边表示从0到时间T传递到网络的总能量。因此，对于无源网络，没有能量被传递到环境中。
本书将机械阻抗函数Z(s）定义为速度与力的比值，即
其中，表示拉氏变换。
机械导纳函数F(s）可定义为机械阻抗函数Z(s）的倒数，即
此处，基于力-电流类比，机械阻抗和机械导纳的定义与电路中的相同。力和电流被视为穿越变量（through variables）、速度和电压被视为横跨变量（across variables）。根据传统的电路符号，阻抗可定义为横跨变量和穿越变量之间的比值。
网络的无源性与其阻抗函数、导纳函数的正实性有关。对于一个双端点机械网络，当且仅当其机械阻抗函数或导纳函数为正实函数时，这个网络是无源的[1]。根据文献，一个有理函数为正实函数的充要条件如下。
①
②
文献给出一种新的等价正实判据。此方法无须计算留数，因此进一步简化了一般正实函数的正实性判别。定理1.1为网络综合与应用打开了空间。
定理1.1考虑实有理函数，其中多项式在处无公共根，则为正实函数的充分必要条件如下。
①
②
传统的电路综合理论表明，任何一个正实的有理函数都存在一个阻抗(或导纳）函数为Z(s）的含电感-电阻-电容的电路网络W。根据力-电流类比理论可以推断，对于任何一个正实的有理函数，都存在一个阻抗（或导纳）函数为的含弹賛-阻尼器-惯容的机械网络W。自文献问发表后，机械网络综合理论有了一系列新的成果[6-9]。
1.3惯容的物理实现
惯容的定义引入了一个新的机械概念。对于这样的一个新概念，同样重要的问题是如何构建一个具有与惯容的定义相同或至少相似的机械结构或者元件。构建惯容物理实例的流程被称为实现。
目前，惯容主要有三种实现方法，即齿轮齿条惯容、滚珠丝杠惯容，以及液压惯容。此外，根据实现中是否使用了飞轮，惯容的物理实现还可以分为基于飞轮的惯容和无飞轮的惯容。
图1.4和1.5分别展示了一个齿轮齿条惯容的原理图和物理实例。在这种类型的惯容中，缸体中滑动的柱塞通过一个齿条、小齿轮、大齿轮驱动一个飞轮。如果忽略柱塞、齿轮齿条，以及大齿轮的质量，这个结构的动态特性可以近似为
其中，m为飞轮的质量；以及7为齿轮齿条、齿轮、飞轮上小齿轮的半径，以及飞轮的回转半径。
根据惯容的定义，齿轮齿条惯容的惯容量为
显然，如果和大于1，惯谷量就远大于飞轮的质量爪。这表明，齿轮齿条结构有放大飞轮质量的功能。例如，取实际中容易实现的，则惯容量将是飞轮质量的81倍。如图1.5所示，这个结构的总质量大约为3.5kg，可以实现725kg的惯容量[17]。
因为齿轮齿条惯容能承担一个较大的负载，所以它能实现一个较大的惯容量。齿轮之间固有的摩擦，以及反向间隙会显著地增加惯容的非线性。一种潜在的解决方法是将齿轮齿条驱动结构用滚珠丝杠替换。这样就提出名为滚珠丝杠惯容的第二代惯容。与齿轮齿条惯容相比，滚珠丝杠惯容的摩擦被大大减少，并且可以通过预加载消除反向间隙。图1.6展示了滚珠丝杠惯容的原理。图1.7展示了剑桥大学工程系制作的一个实际质量为1kg，惯容量约为180kg的滚珠丝杠惯容[18]。
与齿轮齿条惯容相似，滚珠丝杠惯容的惯容量可以表示为传动比的平方和飞轮转动惯量的乘积，即
(1.3）
其中，J为飞轮的转动惯量；为滚珠丝杠的传动比，p为丝杠的螺距（单位为m/rev）[13]。
其中，J为飞轮的转动惯量；A为活塞的面积；D为以立方米为单位的常数[14]。
基于飞轮的惯容的共同特点是使用传动装置驱动飞轮（齿轮齿条、滚珠丝杠和液压传动装置），通过传动装置放大飞轮的转动惯量来实现惯容的功能。因此，对传动装置有两个要求。一是，要能将惯容两端点间的直线运动转化为飞轮的旋转运动。二是，要能放大飞轮的转动惯量。从这个角度来看，完全可以用不同的满足上述两点要求的传动装置实现不同类型的惯容。
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