本书介绍与大学数学基础课程（高等数学、数学分析和常微分方程，也包括一小部分线性代数）相关的应用问题，主要是这些课程在数学和物理中的应用，希望能通过这些应用问题提高学生学习大学数学课程的积极性。本书中的应用问题有一部分很简短，可作为简单的阅读材料，也有一些有相当难度，可作为探索内容。 本书可供低年级本科生阅读，也可供相应数学课程的教师参考。

第1章一元函数的导数
　　1.1直接求导
　　1.1.1极坐标和球坐标中质点的动能
　　设平面上一个质量为m的质点的位置为，则它的动能为，其中表示对时间t的导数.
　　在平面上还可以用极坐标，它与直角坐标的关系为
　　(1.1)
　　[问题]证明:在平面上，有
　　(1.2)
　　[解答]由直角坐标同极坐标的关系得
　　所以
　　同样，设空间一个质量为m的质点的位置为，则它的动能为.在空间还可以用球坐标(r，θ，φ)á，它与直角坐标的关系为
　　(1.3)
　　[问题]证明:在空间，有
　　(1.4)
　　[解答]由直角坐标同球坐标的关系得
　　所以
　　1.1.2平面旋转坐标系中的惯性力
　　当汽车刹车时，人会向前倾.从地面上看，这是由于人有惯性.然而，如果将车密闭，车上的人也可以认为除了重力外，他突然受到了一个向前的力，车上的人感觉到的这个向前的力称为惯性力.地面所在的参考系是惯性系，从地面上来看，这个力是完全没有的.但是，刹车时车子所在的参考系并非惯性系，为了在此参考系中仍能使用Newton(牛顿)运动定律，必须引入这个假想的惯性力à.本小节考虑在匀速旋转参考系中的相应问题.
　　设有一个水平放置的转盘，上面放有一个相对转盘静止的物体，物体上有一根线连在转盘的中心.当转盘转动时，线上会产生张力，以防止物体被甩出.从地面上看，要使物体做圆周运动，必须给它施力，这就是线对物体施加的向心力.但从转盘上看，物体处于静止状态.由于转盘参考系不是惯性系，为了仍能使用Newton运动定律，通常引入一个假想的惯性力——惯性离心力，它同向心力大小相等、方向相反.于是，从转盘上看，物体静止不动的原因是惯性离心力和线的拉力相平衡了.
　　如果物体在转盘上运动，情况就比较复杂了.从转盘上看，它除了受到假想的惯性离心力的作用外，还受到另一个假想的惯性力——Coriolis(科里奥利)力的作用.如果用向量来讨论这个问题会比较复杂，而对于平面运动，用复数来讨论会简单得多.
　　设转盘以恒定角速度ω逆时针旋转.我们用复数表示向量，将旋转中心作为复平面的原点.如果在地面参考系中，质点的位置为，所受的外力为，在转盘参考系中，质点的位置为，所受的外力为，则有.
　　[问题]将地面参考系中的Newton运动方程改写为转盘参考系中的方程.
　　[解答]在地面参考系中，Newton运动方程(即Newton第二定律)为
　　其中m是质点的质量.转换到转盘参考系中，则有
　　将上式左边展开得
　　即
　　这就是转盘参考系中的Newton运动方程.
　　[说明]等式右边的第一项就是外力;第二项是惯性离心力，它的大小为，方向从转盘中心指向质点;第三项称为Coriolis力，它的大小为，其中是质点的速度，Coriolis力的方向垂直于v，并且从v沿转盘旋转相反方向转过90 见下图.
　　由于地球有自转，地球上任何运动的物体都会受到Coriolis力的作用.在地理学上，Coriolis力也称为地转偏向力.北半球的河水受到向右的Coriolis力的作用，使得河道的右侧冲刷较严重.另外，北半球的火车通常规定在左侧的轨道上行驶也是因为以前要减少Coriolis力对路基的影响，因为北半球的火车受到向右的Coriolis力的作用，当双线轨道上的火车在左侧轨道上行驶时，会将轨道向右推，从而将路基向内推紧，如果在右侧轨道上行驶的话，则会将路基向外推松.
　　一般地，在三维空间中，如果质点的速度为v，参考系相对惯性参考系的角速度为ω，则质点所受的Coriolis力为2mv×ω，详细讨论请参见6.2.3小节.
　　Coriolis力*直观的表现是Foucault(傅科)摆.1851年，Foucault在巴黎的先贤祠将一个质量为28千克的大铁球悬挂在67米长的钢缆上，形成一个能摆动很长时间而不停止的单摆.在Coriolis力的作用下，摆动平面会以恒定的角速度旋转，转动一周约需32小时.下面来分析这一过程.
　　Foucault摆在摆动过程中，惯性离心力几乎不发生变化，可以将其归于重力中.同时，当摆动角度较小时，可近似看作为直线运动.如下图.在摆所在地建立直角坐标系，x轴与纬线相切，方向向东，y轴与经线相切，方向向北，z轴从地面向上.在此坐标系下，地球的自转角速度为，其中为纬度，北纬为正、南纬为负.
　　当摆动幅度较小时，摆球在竖直方向的速度可以忽略.于是，设摆球的速度为，则它所受的Coriolis力为
　　其竖直分量对摆动平面的旋转无影响，且同重力相比很小，对周期的影响可忽略.另一方面，于是，在纬度为处的Coriolis力等价于在以角速度旋转的地球上的摆在北极所受的Coriolis力.而在北极，如果地球以角速度逆时针旋转，则从地球上来看，摆动平面以角速度顺时针旋转.所以在纬度为处，Foucault摆的摆动平面以角速度顺时针旋转.巴黎先贤祠在北纬48.8°，代入上式计算得摆动平面转动一周所需的时间为24小时/sin48.8°≈32小时.现在世界各地有很多Foucault摆，在上海天文馆(位于北纬30.9.)中就有一个，它的摆动平面转动一周所需的时间为24小时/sin30.9°≈47小时.
　　1.2Taylor公式与近似计算
　　在近似计算中，Taylor(泰勒)公式起了很大的作用.在很多应用问题中，只用到了带Peano(佩亚诺)余项的一阶Taylor公式，实际上就是微分.由于现在数值计算都利用计算机或计算器，在具体计算中使用Taylor公式的情况是不多的.然而，Taylor公式在公式的近似化简中仍起着很大的作用.在一定条件下，从化简后的近似公式中能更清楚地看出问题的实质.
　　1.2.1位于地球表面的物体的重力势能
　　如果一个质量为m的质点位于地球表面之外，那么它的重力势能为，其中G是万有引力常量，M是地球的质量，r是该点到地心的距离.现在设一点离地面很近，记h为该点离地面的高度，那么通常不会再用.来计算重力势能，而是用mgh来计算.
　　[问题]导出地面附近的重力势能公式.
　　[解答]记r=R+h，其中R是地球的半径.由于GM=R2g，其中g是重力加速度，所以
　　(1.5)
　　改变了势能的零点后，重力势能就近似成了mgh.
　　1.2.2黑体辐射公式的低频和高频近似
　　任何物体都会辐射电磁波，例如烧红的铁棒会辐射可见光，而人体主要辐射红外线.黑体是任何电磁波射到其上都会全部吸收而不会反射的理想物体，它只会按自身的温度辐射电磁波.对一个固定温度(绝对温度)T的黑体，单位体积内的能量密度按频率ν有一个分布ρ(ν).Planck(普朗克)黑体辐射公式给出:
　　(1.6)
　　其中c是真空中的光速，h是Planck常量，k是Boltzmann(玻尔兹曼)常量，T是黑体的绝对温度.
　　[问题]求ν很小和ν很大时Planck黑体辐射公式的近似表达式.
　　[解答]当ν→0时，
　　(1.7)
　　当ν→+∞时，
　　(1.8)
　　所以当ν很小时，而当ν很大时.
　　[说明]上面当ν很小时的公式称为Rayleigh-Jeans(瑞利–金斯)公式，而
　　当ν很大时的公式称为Wien(维恩)公式，这两个公式均可从经典物理理论导出，这时，电磁波的能量是连续的.Planck利用这两个渐近公式得到了黑体辐射公式(1.6)后，为了从统计力学将其导出，发现电磁波的能量只能取hν的整数倍，后来Einstein(爱因斯坦)据此提出了光子的概念.现在通常将Planck建立黑体辐射公式作为量子力学的诞生.
　　1.2.3狭义相对论的质能关系式
　　在Newton的经典力学中，时间只是一个统一的参数，同参考系无关.而在狭义相对论中，时间和空间不能独立地变换，而是通过Lorentz(洛伦兹)变换一起变化，从而时间和空间变量成为一个四维空间(称为Minkowski(闵可夫斯基)四维时空)中的一个向量的分量，这个向量通常记为其中c是真

目录　
“大学数学科学丛书”序　
前言　
第1章　一元函数的导数　1　
1.1　直接求导　1　
1.1.1　极坐标和球坐标中质点的动能　1　
1.1.2　平面旋转坐标系中的惯性力　2　
1.2　Taylor公式与近似计算　5　
1.2.1　位于地球表面的物体的重力势能　5　
1.2.2　黑体辐射公式的低频和高频近似　6　
1.2.3　狭义相对论的质能关系式　6　
1.2.4　氢原子能级的精细结构　7　
1.2.5　潮汐　9　
1.3　单调性与*大*小值　13　
1.3.1　抛体的*远距离　13　
1.3.2　Wien位移定律　15　
1.3.3　光的折射与Fermat原理　15　
1.3.4　蜂巢的边界　17　
1.3.5　实系数一元三次方程的实根个数　18　
1.3.6　Young不等式、H.lder不等式和Minkowski不等式　19　
1.3.7　Lagrange点　22　
1.4　凸性　27　
1.4.1　Jensen　不等式　27　
1.4.2　平均值不等式　28　
第2章　一元函数的积分　32　
2.1　直接积分　32　
2.1.1　旋转杯子中的水面　32　
2.1.2　Buffon投针问题　33　
2.2　微元法　34　
2.2.1　绕在杆上的绳子　34
2.2.2　Poiseuille公式　35　
2.2.3　火箭　36　
2.3　平均　37　
2.3.1　杆秤　37　
2.3.2　水闸上压力的力矩　38　
2.3.3　引力　39　
2.3.4　交流电的平均　39　
第3章　常微分方程　42　
3.1　一阶常微分方程　42　
3.1.1　有阻力时的抛体　42　
3.1.2　单摆　43　
3.1.3　悬链线　45　
3.1.4　*速曲线　46　
3.2　二阶线性常微分方程　49　
3.2.1　带阻尼的受迫振动　49　
3.2.2　电路中的初始条件　52　
3.3　二阶非线性常微分方程及方程组　53　
3.3.1　以恒力拉起链条　53　
3.3.2　二体问题　54　
3.3.3　过山车的轨道　58　
第4章　多元函数的微积分　63　
4.1　多元函数的微分　63　
4.1.1　三角形的Fermat点　63　
4.1.2　*小二乘法　66　
4.1.3　定压热容量与定容热容量之差.68　
4.1.4　平衡态熵极大的推论　70　
4.2　重积分　73　
4.2.1　均匀球体产生的引力　73　
4.2.2　均匀圆盘产生的引力　74　
4.3　曲线积分、曲面积分与向量分析　75　
4.3.1　极坐标下的梯度和散度　77　
4.3.2　Archimedes定律　79　
4.3.3　Maxwell方程组　81　
4.3.4　Maxwell方程组的微分形式表示　84
第5章　级数与Fourier变换　89　
5.1　函数项级数　89　
5.1.1　Kepler第三定律推导中的一个积分　89　
5.1.2　Stefan-Boltzmann定律　90　
5.2　幂级数　92　
5.2.1　Fibonacci数列　92　
5.2.2　Catalan数　94　
5.2.3　Legendre方程的解的收敛域　97　
5.2.4　指数函数和三角函数的定义　100　
5.3　Fourier级数　103　
5.3.1　Gibbs现象　103　
5.3.2　正弦级数和余弦级数　105　
5.3.3　调幅波的Fourier级数　107　
5.3.4　调频波的Fourier级数　109　
5.4　Fourier变换　111　
5.4.1　一个近似周期函数的Fourier变换　112　
5.4.2　光栅的Fraunhofer衍射　113　
5.4.3　一维热传导方程的求解　116　
5.4.4　Heisenberg不确定性原理　117　
5.4.5　圆孔的Fraunhofer衍射　119　
5.5　离散Fourier变换　121　
5.5.1　超长整数的乘法　122　
5.5.2　一个近似周期函数的离散Fourier变换　123　
第6章　线性代数　126　
6.1　线性代数方程组　126　
6.1.1　Thevenin定理　126　
6.1.2　纯电阻电路中增加电阻　128　
6.2　矩阵及其特征值　133　
6.2.1　振动系统　133　
6.2.2　三阶旋转矩阵的特征值和特征向量　134　
6.2.3　角速度和旋转坐标系中的惯性力　135　
第7章　变分法及其相关问题　138　
7.1　变分法　138　
7.1.1　球面上的测地线　140　
7.1.2　*速曲线　141
7.1.3　地球表面两点间的*速曲线　143　
7.2　与摆线相关的一个积分方程　147　
7.2.1　等时摆I　147　
7.2.2　等时摆II　149　
参考文献　152　
附录　A复数的指数形式　153　
附录B　电容和电感　155　
B.1　电容　155　
B.2　电感　155　
B.3　容抗和感抗　156　
附录C　二极管　160　
索引　162　
“大学数学科学丛书”已出版书目　165