河流数学模型是研究河道、湖泊等地表水流系统中水流、物质输运、水质变化、河床演变等的常用手段。作者针对工程应用最广的雷诺时均控制方程河流数学模型及其技术瓶颈，开展系统性研究并在理论与方法上取得突破。全书先后介绍所取得的一维、二维、三维、多维耦合河流数学模型理论与方法，全面覆盖了水动力计算、物质输运模拟等内容。本书集全面性、创新性和实践性于一体，形成了一个跨越多个空间维度的大时空河流数值模拟理论与方法体系，在内容上由浅入深，先通过低维模型引出概念、方法与计算流程，再借用中高维度模型深入介绍计算理论，对模型研发初学者和资深研究者均具有参考价值。 本书是计算水力学与水环境模拟范畴的一部专业著作，适用于水力学、水环境、智慧水利、河流动力学、城市水系统规划等专业的学者和本科生、研究生，也是水利水电、航道水运、环境生态等相关行业工程技术人员的基础性参考书籍。

第1章河流数值模拟基础
本章介绍本书的研究对象，梳理与剖析河流数值模拟所涉及的概念与公共知识，为后续章节论述各种维度的河流数学模型理论与方法做铺垫。*先，从河流数值模拟的视角，分析流体力学理论与河流数学模型的内在联系；接着，简述水流与物质输运的控制方程；然后，介绍时空离散的基本概念和本书将采用的计算网格、符号系统等；*后，点出河流数学模型数值求解中的几个关键问题。
1.1地表水流运动及流动系统
1.1.1地表水流系统概念
具有与空气相接触的可自由变动表面的地表水流，一般被称为自由表面水流或明渠水流，它们具有受重力驱动、固体边界复杂、流态紊动等特征。按照水流发生的水深环境，自由表面水流可分为深水和浅水流动，它们的主要区别在于水流的垂向运动尺度与水平运动尺度的比例。深海、水库等水域可构成深水流动系统，其中涌浪的垂向运动通常十分显著；河流、湖泊、河口等水域可构成浅水流动系统，其中水流的垂向运动相对于水平运动几乎可被忽略。浅水流动系统中的自由表面水流及其物质输运(例如水质指标迁移转化、泥沙输移等)十分复杂，与人类生活生产的关系*为密切，也是河流模拟领域的重点关注对象。此外，在城市地下排水管网、Karst岩溶伏流河道等封闭过流通道中，存在着一种明渠水流与承压水流的混合流动，这类混合流及其物质输运，也属于河流模拟探究的范畴。本书将上述深水、浅水流动系统及混合流系统，统称为广义河流系统。
大型浅水流动系统，较著名的有荆江–洞庭湖、珠江河口系统等，通常同时包含江河干流、网状过流通道(河网)和大面积水体容器(湖泊、海湾等)，具有水域庞大、连通关系复杂、耦合性强等特点。以荆江–洞庭湖系统为例，它的具体特征如下：
①空间尺度大、支流入汇多，由荆江、洞庭湖和荆南河网三个部分组成(见附录3)，总水域面积3900km2，同时接纳长江来流及湘、资、沅、澧四水入汇在时空上的异步加载；②连通复杂，长江通过荆江三口(松滋口、太平口、藕池口)向洞庭湖分泄水流、泥沙等，连通长江和洞庭湖的荆南河网为连接复杂的环状河网，湖区流路也是错综分布；③耦合性较强，长江的分流在穿过荆南河网后与来自四水的入汇，在一同经过洞庭湖调蓄之后，于城陵矶重新汇入长江，江湖河网联动并耦合成一个有机整体；④江湖河网由于复式过流断面广泛分布，具有季节性滩槽过流与物质输移特征，流动形态随来流流量发生变化(小水归槽、大水漫滩)，洞庭湖则呈现出“洪水一个面、枯水一条线”的河湖转换特征；⑤河网内多个支汊仅发生季节性过流，断流、干湿转换、流向反转等频繁出现；⑥江湖河网水域边界不规则、河型多样，各分区滩槽尺度差异大；⑦床沙组成、植被覆盖等河床条件空间变化复杂。
一方面，国家战略提出江湖河口等的治理与保护，需要精细模拟和深入认识大型浅水流动系统的水动力、物质输运及其伴随过程；另一方面，由于耦合性较强的特点，一般需要将大型浅水流动系统作为一个整体开展模拟和研究。由此所引出的大时空河流数值模拟的理论探索和工程实践，具有极大的挑战性。

1.1.2地表水流系统的研究方法
现场原型观测、室内试验和数值模拟，是研究地表水流系统中水动力、物质输运及其伴随过程的常规手段，它们的特点及发展情况简述如下。
现场原型观测主要包括日常水文观测与现场试验。日常水文观测，是指在真实河流现场对水力要素、物质浓度及河床地形等进行直接观测。例如：在河道固定水文断面不间断地观测流量、水位、水质指标、含沙量等的逐日变化过程，在水域关键位置测定水力要素、物质浓度等的空间分布；使用测船测量河道散点地形或断面轮廓，使用无人机拍照获得表面高程数据，使用遥感影像或航拍记录河湖岸线演变动态等。现场试验，是指在原型场景下开展具有针对性的短期试验，例如水库溃坝[1]、闸下河道冲刷[2]、水质指标迁移等现场试验[3]。以文献[2]入海河口挡潮闸下游潮沟冲刷现场试验为例，试验的基本内容为：选定一个时段开闸形成场次洪水冲刷下游的潮沟，测量冲刷过程中潮沟沿程水面线及关键位置处流速随时间的变化过程；记录试验前后的河床地形；基于实测资料，综合分析人造洪水作用下潮沟的冲刷规律。开展现场原型观测的缺点是一般需要消耗大量的人力和物力。
室内试验主要包括水槽试验和实体模型试验。水槽试验一般使用概化的物理图形，通常仅用于开展水流、物质输运等的机理性研究。实体模型试验，是指按一定比例缩小真实河流，从而建立模型小河开展试验研究。真实河道水流一般多为紊流，紊流基本理论目前并不成熟，紊流物质输运则更为复杂。在紊流复杂现象面前，**流体力学理论有时会产生显著误差，紊流运动的规律时常只有它自己知道。因此，在机理探究方面，试验手段相比于数值模拟与其他研究手段具有更高的可靠性。不可否认，试验仍是目前河流科学研究中*基本、*有效、*重要的研究手段之一。当今世界上*大的实体河工模型——长江防洪模型，位于长江科学院武汉沌口科研基地，在2004～2005年期间建成，水平、垂向比尺分别为1∶100、1∶400。
河流数值模拟始于20世纪60年代[4]，是一种以计算数学、河流基本理论、计算机技术等为基础的交叉学科研究手段。相对于现场原型观测和室内试验，河流数值模拟具有费用低、周期短、不受场地限制和试验环境影响等诸多优点。随着紊流、泥沙、水环境基本理论和数值计算方法等的发展，河流数学模型也日趋成熟，并在科学与工程研究中获得广泛应用。实践表明，以雷诺时均Navier-Stokes(简写为NS)方程为核心控制方程的河流数学模型一般已能满足实际应用的精度要求，在现阶段工程计算中占主导地位。这类河流数学模型包括一、二、三维模型和多维耦合模型，它们均是本书理论和方法将要探究的对象。
1.2流体力学概念的辨析
本节从河流数值模拟的视角，抽取与分析相关流体力学概念，重点辨析水流运动的三种描述方法，对同类书籍介绍较少的欧拉-拉格朗日方法进行详细介绍。
1.2.1水流的基本概念与假定
1.不可压缩性与密度
对于不产生水击现象的常规地表水流系统，水的可压缩性是极小的，可将水流作为不可压缩流体进行研究。不可压缩纯水的密度是一个常量，在描述这类水流时物理方程中的密度变量可被约分消除，即控制方程不再含有密度变量。需指出，当不可压缩水流伴随有溶解质、悬浮颗粒等的输移或受到温度变化影响时，这些附加的物质输运过程会引起水体密度发生变化。此时，水流控制方程需要包含密度变量，以反映密度的空间分布及变化对水流运动的影响。例如，不包含密度影响的三维水动力模型不能模拟盐水密度流或泥沙异重流现象。
2.流体质点
流体分子的微观热力学运动是随机的，若以分子为对象研究流动，则流动问题会十分复杂。而人们所关心的通常是水流的宏观特征，此时可选取在微观角度足够大且宏观角度足够小的流体微团来研究流动。一方面，流体微团(例如1μm3)包含大量分子，将这些分子的运动进行平均，可取得能代表流体微团运动状态的平均值。在统计意义上，流体微团已经具备了宏观流体的确定性。另一方面，对于实际水流对象，1μm3流体微团已非常小，以至于可忽略它的几何尺寸，而将其看作一个没有体积的点。用它作为研究流体的基本单元，既克服了分析流体分子随机运动的困难，也不会丢失水流宏观运动的细节。这样的流体微团被称为流体质点。
3.连续介质假定
从微观角度看，由大量做随机运动的水分子的物理状态所代表的流体物理量的分布，在时间和空间上都是不连续的。但在研究流体宏观机械运动时，通常认为流体质点充满了整个流动空间、流体物理量的时空分布是连续的，这个假设就是连续介质假定。在应用连续介质假定后，每个空间点每个时刻的物理量a(密度、流速、压力等)是时间坐标t和空间坐标(x，y，z)的连续可微函数，可写为a(x，y，z，t)。由此可利用连续函数的分析方法，推导流体运动的偏微分方程。
4.水流黏性、水流流态
根据是否考虑黏性影响，流体分为理想流体和黏性流体。理想流体是指黏性影响可忽略的流体，流体内部流体微团之间不存在摩擦力作用，也不发生旋转，因而常被称为无旋流动(或势流)。当黏性影响相对很弱时(例如深海波浪、溃坝水流等)，为了便于理论分析和数学推导，常常将水流假定为理想流体。
自然界中不存在绝对的理想流体，实际流体都具有黏性。黏性流体中，流体微团之间会产生摩擦力(称为流体内摩擦力)，以反抗它们之间的相对运动，同时引起自身的变形和旋转，并导致流体微团运动轨迹呈现出不规则脉动。根据脉动是否显著，黏性水流被分为层流和紊流。当流速较小、壁面较光滑时，水流脉动微弱，流线是顺直的、近似平行的线条，呈现出分层流动形态，称之为层流。当壁面较粗糙、流速增加到一定程度之后，逐渐增强的脉动将破坏分层流动形态，流线不再是顺直、近似平行的线条，而是演化成涡团形态，此时水流进入紊动状态，称之为紊流。1883年英国人雷诺通过著名的圆管试验展示了黏性流动的层流、紊流形态以及它们之间转化。黏性水流发生由层流向紊流转化时的雷诺数(惯性力与黏性力之比)称为临界雷诺数。常规地表水流一般均应当作紊流对待。
1.2.2描述流体运动的方法
连续介质运动的描述方法是研究流体运动的基础，以往流体力学书籍[5]一般仅介绍两种描述方法，即拉格朗日法和欧拉法。这两种方法联系十分紧密，事实上，以它们为基础并介于二者之间，还存在第三种描述方法，即欧拉-拉格朗日方法(Eulerian-Lagrangianmethod，ELM)，也有文献称之为semi-Lagrange方法。ELM联合使用欧拉场和拉格朗日追踪，充分利用二者的优势，在现代计算流体力学领域受到越来越多的关注，也是本书大时空河流数值模拟理论的基石之一。
1.拉格朗日方法
拉格朗日法使用流体质点作为研究对象，跟踪流体空间中每一个质点，记录和分析它们的运动历程，并把足够多的质点的运动信息综合起来得到流体运动的规律。
在使用该方法时，*先，通过对每个流体质点进行标记来加以区分，一般使用初始时刻(t=t0)质点的空间位置(a，b，c)作为标识。图1.1坐标系中，在初始t0时刻，某质点的空间坐标为(a，b，c)。因为在同一时刻一个质点占据唯一一个空间位置，即不同质点具有不同的空间坐标，所以可使用质点的初始坐标作为标记，来区别流体空间中的各个质点。初始位置变量(a，b，c)、时间变量t是互相*立的，它们的组合被称为拉格朗日变量。应用连续介质假定，质点(a，b，c)在某一时刻t的空间位置或位移(x，y，z)可以表示为拉格朗日变量(a，b，c，t)的连续函数，即
(1.1)
对于一个给定的质点，(a，b，c)是确定的，(x，y，z)仅为t的函数。此时，式(1.1)描述了质点(a，b，c)随时间的运动轨迹。对于一个给定的时刻，t是确定的，各质点均具有自己的坐标，(x，y，z)仅为起始坐标(a，b，c)的函数。此时，式(1.1)表达的是t时刻各质点的空间分布，即t时刻由各质点组成的整个流体空间的瞬态影像。当研究多个质点运动时，质点的(a，b，c)及t均为变量，(x，y，z)将是(a，b，c)和t共同的函数。此时，式(1.1)所表达的是质点群的运动轨迹。
拉格朗日法的优点是，可直接使用**物理学方法对流体质点进行力学和运动学分析。根据**物理学中质点系的研究方法，在每个方向上，流速等于位移对时间的偏导。将式(1.1)关于t求一阶偏导，即可得到质点流速的表达式：
(1.2)
将式(1.2)关于t再求一阶偏导，可得到流体质点的加速度：
在不受外力作用时，流体质点加速度等于0。根据牛顿**定律即惯性定律，此时流体质点将继续保持静止或匀速直线运动状态。然而，在实际流体内，一个质点可能受到周围质点的摩擦、碰撞或其他外力作用，这使得质点的运动状态变化非常复杂。惯性运动不改变质点运动状态，而外力作用改变质点运动状态。据此，可近似地采用质点运动分割法分析空间点运动状态的变化。在微小时段中，某空间点在末时刻的运动状态由两个部分构成：其一

目录
序一
序二
前言
第1章 河流数值模拟基础 1
1.1 地表水流运动及流动系统 1
1.1.1 地表水流系统概念 1
1.1.2 地表水流系统的研究方法 2
1.2 流体力学概念的辨析 3
1.2.1 水流的基本概念与假定 3
1.2.2 描述流体运动的方法 4
1.2.3 迹线与流线辨析 9
1.3 河流数学模型的控制方程 10
1.3.1 流体受力与黏性流动的基本方程 10
1.3.2 描述紊流的雷诺时均NS 方程 12
1.3.3 紊流方程闭合的涡黏模式 14
1.3.4 物质输运方程 15
1.3.5 河流数值模拟概述 16
1.4 控制方程的时空离散基础 17
1.4.1 计算网格要素与模型控制变量 17
1.4.2 平面非结构网格及其符号系统 20
1.4.3 河网/管网计算网格及其符号系统 24
1.5 河流数学模型的关键问题 27
1.5.1 流速-压力耦合的求解 27
1.5.2 水流的自由表面追踪 29
1.5.3 对流问题的求解 30
1.5.4 多维多物理过程分解 31
参考文献 32
第2章 河道/管道一维水动力模型 36
2.1 明渠与承压水流控制方程的统一 36
2.1.1 明渠与承压水流连续性方程的统一 36
2.1.2 明渠与承压水流运动方程的统一 37
2.1.3 其他形式的一维动量方程 40
2.2 水流控制方程的线性化 42
2.2.1 不规则断面引起的非线性 42
2.2.2 全局与局部线性化方法 44
2.2.3 线性化技术的适用性 47
2.3 明渠水动力模型的基本架构 47
2.3.1 动量方程的算子分裂离散 48
2.3.2 连续性方程的时空离散 51
2.3.3 流速-压力耦合的构造与求解 52
2.4 不规则断面的混合流模型 55
2.4.1 混合流模拟方法的研究进展 55
2.4.2 混合流的离散化描述方法 56
2.4.3 混合流水动力模型的特殊性 60
2.5 计算区域的干湿转换模拟 61
2.5.1 单元干湿转换的模拟 62
2.5.2 干湿转换的水量误差分析 62
2.6 混合流模型的数值实验 63
2.6.1 明渠-暗管交替混合流 63
2.6.2 圆管中混合流水跃 64
2.6.3 混合流周期波动 65
参考文献 67
第3章 河网一维水动力与物质输运模拟 70
3.1 河网一维水动力模型 70
3.1.1 河网关键问题的研究现状 70
3.1.2 河网的预测-校正分块解法 73
3.1.3 河网预测-校正分块解法的特性 77
3.2 点式欧拉-拉格朗日方法 78
3.2.1 欧拉-拉格朗日方法产生的背景 78
3.2.2 一维点式ELM的基本原理 80
3.2.3 点式ELM在河网中的执行 83
3.3 守恒型欧拉-拉格朗日方法 85
3.3.1 追踪拉格朗日单元的ELM 85
3.3.2 求解物质输运的通量式ELM 86
3.4 河网水动力与物质输运数值实验 90
3.4.1 环状与枝状河网水流的模拟 90
3.4.2 大型江湖河网系统的模拟 94
3.4.3 与商业软件的比较测试 98
3.5 大时空水环境实时模拟研究展望 100
3.5.1 大型浅水流动系统实时模拟 100
3.5.2 水环境与优化调度耦合计算 101
参考文献 101
第4章 平面二维水动力模型 104
4.1 半隐式二维水动力模型基本架构 104
4.1.1 控制方程与定解条件 104
4.1.2 动量方程的算子分裂离散 105
4.1.3 流速-压力耦合问题的求解 107
4.1.4 隐式二维模型干湿动边界处理 110
4.2 浅水流动分区局部解法误差的解析 114
4.2.1 隐式水动力模型并行解法的研究现状 115
4.2.2 分区局部解法误差变化的解析 117
4.2.3 浅水流动分区求解的误差变化规律121
4.3 隐式水动力模型的预测-校正分块解法 122
4.3.1 基于区域分解的两步求解思路 122
4.3.2 预测-校正分块解法的求解流程 123
4.3.3 预测-校正分块解法的应用条件 124
4.3.4 预测-校正分块解法的辨析 125
4.4 模型参数敏感性的研究方法 126
4.4.1 参数敏感性研究测试算例设计 126
4.4.2 预测-校正分块解法的加速性能 127
4.4.3 预测-校正分块解法的计算精度 128
4.5 大型浅水流动系统建模与测试 130
4.5.1 分区变尺度滩槽优化的非结构网格130
4.5.2 大型浅水流动系统参数率定 131
4.5.3 并行分区划分原则与并行测试方法134
4.5.4 大型浅水流动系统数值试验 136
4.6 不同水动力模型的比较与讨论 139
4.6.1 与商业软件的比较研究 139
4.6.2 大型浅水流动数值模拟的发展 140
参考文献 142
第5章 平面二维物质输运的模拟 144
5.1 二维物质输运模型常规解法 144
5.1.1 二维物质输运模型的基础架构 144
5.1.2 对流物质输运的常规解法 145
5.1.3 守恒型ELM 的发展 147
5.2 对流算法非物理振荡的控制机制 149
5.2.1 非物理振荡的本质与解决方法 149
5.2.2 基于逆向追踪带的FVELM 150
5.2.3 FVELM特性与嵌入式执行 155
5.3 简易的全二维通量式ELM 156
5.3.1 无实体依赖域的通量式ELM 157
5.3.2 界面通量校正的作用与测试 161
5.3.3 通量式对流物质输运解法的辨析 163
5.4 通量式ELM的参数敏感性 165
5.4.1 刚体云旋转物质输运 165
5.4.2 弯道水槽物质输运 172
5.5 大型浅水流动物质输运数值试验 178
5.5.1 真实长河道物质输运的模拟 178
5.5.2 真实枝状水库物质输运的模拟 181
5.5.3 与商业软件的比较研究 183
5.6 大时空河流数值模拟的发展 185
5.6.1 大时空河流数学模型的瓶颈 185
5.6.2 大时空河流数值模拟的二维时代 186
参考文献 186
第6章 三维非静压水动力模型 191
6.1 三维水动力模型控制方程剖析 191
6.1.1 垂向z 坐标系三维水流控制方程 191
6.1.2 垂向σ坐标系三维水流控制方程 195
6.1.3 紊流闭合模式的方程与公式 197
6.2 垂向z网格三维水动力模型 199
6.2.1 基于垂向z网格的空间离散 200
6.2.2 动量方程的数值离散 202
6.2.3 静压耦合步计算 207
6.2.4 动压耦合步计算 209
6.2.5 非静压模型的计算流程 212
6.3 处理自由水面动压的SCGC方法 213
6.3.1 水面动压边界处理方法的研究进展 213
6.3.2 处理水面动压边界的Ghost-cell方法 214
6.3.3 自率定虚拟单元(SCGC)方法 218
6.3.4 SCGC水面动压处理方法的特性 220
6.4 垂向σ网格三维水动力模型 224
6.4.1 垂向σ网格非静压模型的关键问题224
6.4.2 控制方程、计算网格与控制变量布置227
6.4.3 动量方程的数值离散 228
6.4.4 流速-压力耦合的求解 232
6.4.5 双方程紊流模型的数值计算 234
6.5 C-D网格三维水动力模型的特性 235
6.5.1 水平C-D网格模型的精度 235
6.5.2 水平C-D网格模型的稳定性 238
参考文献 240
第7章 三维河流数学模型及数值试验 245
7.1 大时间步长三维物质输运模型 245
7.1.1 三维物质输运方程与边界条件 245
7.1.2 垂向z网格三维物质输运模型 247
7.1.3 垂向σ网格三维物质输运模型 249
7.1.4 三维对流物质输运的通量式ELM 251
7.2 三维水动力模型的数值实验 253
7.2.1 急流爬坡的模拟 253
7.2.2 闸/坝趋孔水流的模拟 256
7.2.3 丁坝绕流的模拟 259
7.2.4 弯道环流的模拟 261
7.3 三维物质输运模型的数值实验 262
7.3.1 刚体旋转振动的模拟 262
7.3.2 真实大型浅水流动系统的模拟 266
7.4 三维泥沙数学模型的数值试验 269
7.4.1 典型泥沙浓度场的模拟 270
7.4.2 泥沙异重流潜入的模拟 274
7.4.3 典型河床演变的模拟 276
7.5 三维河流数学模型理论发展的讨论 277
7.5.1 大时空三维河流数值模拟研究进展277
7.5.2 荆江-洞庭湖系统数值模拟的发展历程 278
参考文献 279
第8章 多维耦合水动力模型 282
8.1 多维垂向耦合非静压水动力模型 282
8.1.1 非静压溃坝水流模型的自由水面问题 282
8.1.2 非静压溃坝水流模型的外模式 283
8.1.3 非静压溃坝水流模型的内模式 285
8.2 非静压溃坝水流的数值模拟 288
8.2.1 理想溃坝水流模拟 288
8.2.2 具有障碍物河床的溃坝水流模拟 290
8.3 多维水平耦合隐式水动力模型 292
8.3.1 一、二维水动力模型耦合计算的方法 292
8.3.2 多维空间连接与融合降维 294
8.3.3 耦合界面处的数值离散 297
8.3.4 一、二维模块的耦合计算 300
8.4 一、二维耦合模型的数值试验 303
8.4.1 大型江湖河网一、二维耦合模型 303
8.4.2 不同程度耦合水动力模型的比较 306
参考文献 308
附录1 书中常用缩写、名词解释等 312
附录2 一维河网连接形式与线性方程组的矩阵结构314
附录3 荆江-洞庭湖(JDT)系统的计算区域与计算网格316
附录4 河流数学模型测试的几个指标 317
附录5 用于求解线性方程组的JCG代码(OpenMP并行版本) 318
附录6 二维对流方程的Jacobian矩阵及变换 320