本书主旨是以能量临界Schrodinger方程、聚焦非线性Klein-Gordon方程为范例，向读者介绍近年来非线性色散（波）方程研究中派生的Bourgain能量归纳法、陶哲轩I-团队的相互作用Morawetz估计及其局部化技术、Kenig-Merle在色框下展的分原理与性方法。主要涉及非性色散方程的物理背景、Fourier分析基础及Strichartz估计、变分法与椭圆理论：基态解及其变分刻画、集中紧致原理与轮廓分解、非聚焦能量临界Schrodinger方程的整体适定性与散射理论、聚焦能量临界Schrodinger方程及非线性Klein-Gordon方程的散射理论。与此同时，以评述的形式给出其他非线性色散方程的研究进展及相关参考文献。希望通过本书使青年学者掌握如何用现代分析，特别是调和分析来研究非线性色散方程，尽快进入该研究领域的前沿。 本书可供理工科院校数学、应用数学专业的高年级本科生、研究生、教师及相关专业的科技工作者阅读参考。

第1章非线性色散方程的物理背景
　　Schrodinger方程是量子力学中的基本模型，从偏微分方程的分类来看，该方程是一个典型色散方程.多玻色相互作用的平均场极限(通过其感应位势)给出的基态对应着非线性Schr6dinger方程和Hartree方程解的一个因子化态，参见[21，40-42，95，96].
　　在具有限能量的非线性色散方程中，非线性Schr6dinger方程作为一个“万能”的伸缩变换极限形式，它可在多种不同的情形推出.例如：非线性Schrodinger方程可以通过KdV方程的小扰动及大相位调制推出，详细参见[83，179].质量临界Schrodinger方程可视为非线性Klein-Gordon方程的非相对极限，详细参见[88，108].能量临界非线性Schrddinger方程可视为弯曲空间中具有集中初值的能量临界Schrodinger方程的极限，参见[69-71].
　　1.1非线性色散方程的特征
　　不同于传统的椭圆、抛物及双曲型偏微分方程，非线性色散方程刻画了线性色散与非线性放大之间相互作用，解的传播速度依赖于频率的尺度，“局部能量”随着时间的演化而减少.非线性Schrodinger方程是非线性色散方程的典范，尽管该方程的解不具极值原理，自由Schrodinger方程的解的谱落在Gauss曲率不为零的时空抛物面上，这类谱几何特性反映了解具有Strichartz估计，对应着Fourier限制性估计的对偶形式.
　　一般来讲，线性色散算子可表示为:.这些算子在以为基底的Hilbert空间中生成一个连续酉群，它以速度来传输平面波，其中对应着色散关系.随着时间演化，不同频率部分以不同的速度移动，进而相互分离，这就意味着“局部能量”随着时间的推移而减少，即使对这些关于时间具有可逆性质的方程也不例外.
　　非线性放大产生的发散多种多样.为确定起见，仅考虑相旋转不变的非线性放大，即满足.上述非线性实际上对应着半线性方程.为简单起见，通常取是多项式增长的情形.一般来说，附近的非线性增长阶数和非线性项的符号决定解的动力学行为.
　　非线性色散方程是典型的Hamilton系统，Noether定理决定着这些方程若干守恒律与不变量，为非线性色散方程的研究框架提供重要的物理支撑与数学抉择.例如：自由Schrddinger方程的解具有质量守恒(L2范数)及范数关于时间的衰减，由此就推出解的L1范数是增长的.由此可见L1范数不可能是我们所选择的拓扑.再例如，既然解具有L2范数守恒，自然就不存在范数意义下的整体光滑估计，这是色散方程的自然属性.
　　1.2半线性色散方程分类
　　通过色散算子对应的象征的阶数(或色散阶数幻对色散方程进行分类是目前常用的方式.以Schrddinger方程对应的阶色散为标准，KdV与四阶Schrodinger方程等对应着的高色散区域.对应着中间色散区域，包括一阶色散对应的经典波动方程对应着低色散区域，包含了经典水波方程总之，色散方程的分类可以粗线条地归结为如下几种情形：
　　非线性色散方程的统一表示形式
　　非线性色散方程是经典的Hamilton方程，可以统一表示为如下形式
　　(1.2.1)
　　这里J满足J2=Id，A是一个线性椭圆算子，是关于的非线性函数.
　　非线性Schriidinger方程
　　非线性Schrodinger方程(NLS)可表示为
　　(1.2.2)
　　这里是未知函数，p>1是一个实数，AeR.
　　当时，称(1.2.2)是非聚焦的(defocusing).
　　当时，称(1.2.2)是聚焦的(focusing).
　　非线性Schr6dinger方程(1.2.2)对应的Hamilton(能量)
　　(1.2.3)
　　非线性Schr6dinger方程(1.2.2)在上的辛结构
　　非线性Schr6dinger方程(1.2.2)具有三个守恒量：质量守恒、Hamilton守恒，即
　　(1.2.4)
　　(1.2.5)
　　质量守恒源于方程在相旋转变换
　　下对应的不变量，动量守恒则对应着方程在平移变换
　　下对应的不变量.能量守恒对应着在时间平移变换下对应的不变量.
　　通常，我们对守恒律的局部形式更感兴趣，容易看出
　　特别，存在一个涉及质量二阶导数的美妙等式一Virial恒等式，即
　　(1.2.6)
　　至于其他类似的例子，可以参见[143，155].
　　非线性Schr6dinger方程(1.2.2)另一个特征是在Galilean变换下保持不变.如果(1.2.2)的解，则
　　(1.2.7)
　　也是(1.2.2)的解.
　　完全可积系统　当，p=3时，一维Schrodinger方程(1.2.2)是一个完全可积系统，具有无限多个守恒律.然而，这仅是一个特殊情形.对一般非线性Schrodinger方程(1.2.2)而言，难以期待它是完全可积的.
　　非线性SchrSdinger方程(1.2.2)具有伸缩不变性，即对于(1.2.2)任意解u，其伸缩变换形式
　　(1.2.8)
　　仍然是非线性SchrSdinger方程(1.2.2)的解，相应的初值为
　　进而，伸缩解满足如下尺度不变性及
　　它为我们获得局部适定性提供了*低正则性空间.见苗长兴与张波的专著及[23].
　　非线性波动方程与非线性Klein-Gordon方程
　　考虑非线性波动方程
　　(1.2.9)
　　与非线性Klein-Gordon方程
　　(1.2.10)
　　这里.当时，对应着非聚焦的波动方程与非聚焦的Klein-Gordon方程；当时，它们分别对应着聚焦情形.记
　　(1.2.11)
　　称为能量临界指标，对应着质量临界指标.容易看出，方程(1.2.9)与(1.2.10)分别具有Hamilton守恒量：
　　及动量守恒量
　　非线性波动方程与非线性Klein-Gordon方程对应的辛结构：
　　记
　　则方程(1.2.9)或(1.2.10)对应的Lagrange密度分别为
　　(1-2.12)
　　注意到微分算子贷出现在的变分中，直接验算的临界点
　　(1.2.14)
　　对应着方程(1.2.9)或(1.2.10)的弱解，这里
　　令
　　则在函数变换
　　下，非线性波动方程与非线性Klein-Gordon方程可以写成
　　(1.2.15)
　　因此，相应的Hamilton形式就可以表示为
　　(1.2.16)
　　梯度算子▽作用在复数域上的Hilbert空间上形成的内积可表示为
　　(1.2.17)
　　1.3Schrodinger群的色散分析
　　Schrodinger解算子对应的核函数可表示为
　　(1.3.1)
　　它的许多性质均可通过驻相分析的方法获得.Fraunholer渐近轮廓公式是核函数表示式著名应用之一.这个术语源于光学，它刻画了单色光在近轴逼近中的绕射斑图.

目录　
《现代数学基础丛书》序　
前言
第1章　非线性色散方程的物理背景　1　
1.1　非线性色散方程的特征　1　
1.2　半线性色散方程分类　2　
1.3　Schr.dinger群的色散分析　6　
1.4　其他色散方程　11　
第2章　Fourier分析基础与Strichartz估计　12　
2.1　驻相分析与相空间上的调和分析基础　12　
2.1.1　Fourier变换与Littlewood-Paley投影算子　12　
2.1.2　仿积与仿微分算子　21　
2.1.3　奇异积分算子　30　
2.1.4　驻相分析　31　
2.2　Strichartz估计　35　
2.2.1　TT方法及经典Strichartz估计　36　
2.2.2　双线性Strichartz估计　39　
2.2.3　若干额外Strichartz估计　47　
2.3　非线性色散方程的局部分析　51　
2.3.1　Hs-临界Schr.dinger方程的局部适定性　55　
2.3.2　质量临界Schr.dinger方程解的稳定性问题　60　
2.3.3　能量临界Schr.dinger方程的稳定性问题　64　
第3章　椭圆理论：基态及其变分刻画　76　
3.1　变分原理、基态解　76　
3.1.1　稳态解的构造与强制性　77　
3.1.2　变分方法与基态解　82　
3.1.3　*佳Gagliardo-Nirenberg不等式　98　
3.2　变分导数与Lagrange泛函　102　
3.2.1　Pohozaev恒等式　104
3.2.2　预备引理与问题的转化　106　
3.2.3　次临界情形：21<p<21　111
3.2.4　临界情形：p=21　115　
3.2.5　区域分解的不变性　118　
第4章　集中紧致原理与轮廓分解　122　
4.1　集中紧致原理的初等分析　122　
4.1.1　p（N）空间中的轮廓分解　124　
4.1.2　Lp（Rd）-紧性刻画与Fatou定理　136　
4.2　Sobolev紧性亏损的轮廓分解刻画　143　
4.3　Schr.dinger方程轮廓分解及Strichartz紧性亏损　159　
4.3.1　H1集中紧性及其对应的轮廓分解刻画　162　
4.3.2　L2集中紧性及其对应的轮廓分解刻画　173　
第5章　非聚焦型能量临界Schr.dinger方程的整体适定性与散射理论　178　
5.1　主要结果与证明策略　178　
5.1.1　主要定理与证明分析　180　
5.1.2　局部守恒律　188　
5.2　局部适定性及稳定性分析　191　
5.2.1　五线性Strichartz估计　195　
5.2.2　局部适定性与扰动理论　198　
5.3　整体时空估计的证明框架　201　
5.3.1　能量归纳——起步阶段　201　
5.3.2　解的局部化控制　205　
5.3.3　局部化的Morawetz估计　210　
5.3.4　能量的非聚积现象　216　
5.4　物理与频率的非局部化与时空范数的控制估计　217　
5.4.1　某个时刻的频率非局部化=时空有界　217　
5.4.2　在某一时刻势能（L6x范数）的小性=时空有界　221　
5.4.3　任意时刻能量在物理空间中聚积　225　
5.4.4　某个时刻在物理空间的非局部化=时空有界　227　
5.4.5　逆向Sobolev不等式　235　
5.5　Virial恒等式与相互作用的Morawetz位势　236　
5.5.1　Virial恒等式　237　
5.5.2　相互作用Virial恒等式与广义相互作用Morawetz估计　239　
5.6　相互作用的Morawetz估计及其派生的技术　242
5.6.1　相互作用的Morawetz框架与平均方法　242　
5.6.2　相互作用Morawetz估计-Strichartz控制性估计　255　
5.6.3　相互作用的Morawetz：余项的估计　259　
5.6.4　相互作用Morawetz：双Duhamel技术　262　
5.7　阻止能量抽空现象　270　
5.7.1　研究框架与反证法　270　
5.7.2　高频、中频与低频的时空估计　273　
5.7.3　局部化L2质量增量的控制.279　
第6章　聚焦型能量临界Schr.dinger方程　287　
6.1　问题的归结及主要结果　288　
6.2　几乎周期解的归结　298　
6.3　三种特殊类型的爆破解　313　
6.4　有限时刻爆破解　321　
6.5　整体几乎周期解　324　
6.5.1　低频-高频的cascade性质　335　
6.5.2　孤立子解　336　
6.6　爆破机制与能量聚积现象　342　
6.6.1　爆破机制　342　
6.6.2　爆破点的聚积现象　345　
第7章　非线性Klein-Gordon方程的散射理论　356　
7.1　问题的提出、比较与直观视角　356　
7.2　变分导数估计与爆破刻画　364　
7.2.1　变分导数估计　364　
7.2.2　爆破机制　368　
7.3　Klein-Gordon方程整体时空估计.371　
7.3.1　非线性Klein-Gordon方程转化成标准的色散方程　371　
7.3.2　Strichartz估计　372　
7.3.3　Strichartz范数意义下的整体扰动理论　382　
7.4　Klein-Gordon方程轮廓分解　396　
7.4.1　线性轮廓分解　396　
7.4.2　非线性轮廓分解　413　
7.5　临界元的抽取方法与PS条件　431　
7.6　临界元的排除　434　
7.6.1　临界元的紧性　434
7.6.2　临界元具有零动量　439　
7.6.3　排除临界元　441　
参考文献　446　
名词索引　458　
《现代数学基础丛书》已出版书目　460