1.1引言
　　随着我国经济的繁荣与发展，各类基础设施和资源开发工程正处于迅猛发展时期，包括水电工程、水利工程和交通工程等。水利水电工程中岩土体既是外部环境，又是重要承载体，在其中建设有大坝坝基、边坡、地下厂房、隧洞等工程。岩土体是一种天然材料，其物质成分、物理力学性质、空间分布与其赋存的地质环境、形成历史、地壳运动和工程因素有紧密的联系。
　　目前，对岩土体力学特性问题的研究方法主要有理论分析、试验研究和数值模拟。理论分析为试验研究与数值模拟提供了指导，同时能够检验数值模拟结果和试验研究的正确性。对于比较简单的问题，通过分析推导可以得到解析解或闭合形式的解，但由于实际工程中的边界条件复杂，能满足解析法计算条件的情况很少。因此，数学解析法在实际工程中单独地进行应用较少。
　　岩土体介质的物理力学性质的试验研究主要包括现场原位测试和室内试验。室内的岩土体试件试验和用相似材料做的物理模型试验，方便快捷，但样本数量有限，且试样受取样扰动的影响，不能完全真实地模拟现场的条件。现场的原位测试能够真实地反映实际情况，但是试验的费用高昂且可重复性差，这就迫使人们寻求更经济、更有效的方式辅助或部分取代试验研究。
　　随着计算机技术的快速进步，数值分析方法发展很快，应用领域日益扩大和深入。岩土工程的计算机分析模拟已成为广大土木工程师和科研工作者从事岩土工程勘察、设计、施工、科研的重要手段。数值模拟在试验研究的基础上，通过建立合理的数学模型来实现岩土体物理力学特性的模拟，通过与实际现场监测结果的比较，检验理论分析的正确性，扩大求解问题的范围。目前，数值模拟已经成为研究岩土体力学特性的一种经济、有效的辅助手段。随着计算机技术和数值模拟技术的提高，数值模拟将在岩土体力学特性的研究中发挥更大的作用。
　　从20世纪40年代开始，有限差分方法在工程分析中得到广泛应用，在岩土工程中先应用于渗流和固结问题的求解，后来推广应用于弹性地基上梁、板及桩基的求解。
　　有限元法是Clough[1]首先提出来的，并于20世纪60年代开始在岩土工程中得到应用。因为它能够较容易地处理分析域的复杂形状和边界条件，以及材料的物理非线性和几何非线性问题，所以有限元法的应用发展非常快，其应用从弹性力学平面问题扩展到空间问题、动力问题，分析对象从弹性材料扩展到塑性、黏弹塑性和复合材料等。有限元法已经成为岩土工程中数值分析模拟的主要手段。
　　为了减小计算量，将解析法和数值解法相结合发展了许多半解析法。有限层法、有限条法、有限元法和边界元法可以认为是半解析法。采用半解析法可以达到降低维数、提高精度、加速运算和降低成本的效果。在岩土工程中有时还会遇到大变形问题，拉格朗日法是为处理连续介质非线性变形问题而设计的。岩土体是自然、历史的产物，其分布和物理力学参数往往具有随机性，为了考虑其随机性，发展了随机有限元法，运用它可以分析材料参数、几何形状或荷载具有某种不确定性时的位移、应力及可靠度问题。
　　实际工程所处的地质环境是经千百万年地质演化逐渐形成的。岩体是历经漫长时间形成的，经过变形、遭受破坏，存在不同程度缺陷的地质体，这些缺陷表现为裂隙、节理及断层等。实际上，岩土体是一种断续介质体，而岩土工程的破坏大多是从上述缺陷开始，进一步扩展、贯通发生的，如边坡滑移、拱坝坝肩失稳、坑道的塌陷等。当岩体内的应力未超过某一临界值时，岩体不会产生明显的断裂，此时，连续介质力学方法可以求得问题的解；而当岩体内的应力超过某一临界值时，裂隙的控制作用变得十分明显，连续介质力学方法已不适合。因此，发展能反映岩体断续介质特性的数值方法尤为迫切。各国研究者为解决这个问题做了大量的工作，并取得了长足的进步。例如，带界面单元的有限元、离散元、刚体-弹簧元及非连续变形分析（discontinuous deformation analysis，DDA）等应运而生，使问题的解决进程向前迈进了一大步。20世纪90 年代以来，由美籍华人石根华首先提出的数值流形方法将连续介质与非连续介质的分析融为一体[2]，较好地反映了岩体介质的断续特性。因此，本书对岩体的数值流形方法进行研究是具有重要理论价值和实际工程意义的。
　　1.2 常用水利水电工程数值分析方法
　　目前，水利水电工程中常用的数值分析方法有有限元法、边界元法、拉格朗日法、离散元法、刚体-弹簧元法、关键块体理论、DDA方法和数值流形方法等。
　　1.有限元法
　　有限元法是水利水电工程分析的有效而常用的一种连续介质力学方法。1960年Clough将杆系结构矩阵分析方法推广应用于平面弹性连续介质问题[1]，将分析域离散成有限个在结点相连的单元，然后在单元中采用多项式插值，建立单元刚度矩阵，利用变分原理集合形成总体刚度矩阵，最后结合初始及边界条件求解。有限元法中通常将材料视为连续体，其在模拟岩体的天然缺陷，如节理、裂隙时，通常采用节理单元。Goodman等[2]最先提出了节理单元，即采用无厚度四结点单元模拟不连续面。但是该方法不能解决岩体内大量的节理和不连续面问题，尤其不能求解岩体内实际可能存在的大变形和大位移问题，并且不能保证单元在不连续面附近不相互嵌入。为此，包括Goodman在内的许多学者对此进行了改进，提出了变厚度节理单元、接触摩擦单元、界面单元等。目前，有限元法已经发展得较为成熟，出现了许多大型的商用软件，如ANSYS、MSC.MARC、ABAQUS等。
　　2.边界元法
　　边界元法是由C.A.Brebbia 最先提出的[3] 。它是解决岩土工程问题常用的一种方法。边界元法是应用格林定理等，通过基本解将支配物理现象的域内微分方程变换成边界上的积分方程，然后在边界上离散化数值求解，其特点是主要网格的剖分只在边界上进行，降低了问题的维数，在边界上位移、面力独立插值，数值解精度一般高于有限元解，而内部可得到连续的半解析解。边界元法特别适合于求解无限域、半无限域问题。该方法的缺点是系数矩阵为非对称满阵，对于三维问题这个缺陷尤其突出。同时，边界元法在处理多介质问题、复杂的非线性问题，以及模拟分步开挖和施工过程等问题方面，有其局限性[4] 。
　　3.拉格朗日法
　　学者根据有限差分原理，提出了拉格朗日法。拉格朗日法是一种适合分析岩土工程中非线性大变形问题的数值方法，它依然遵循连续介质的假设。利用差分格式，不需要形成刚度矩阵，按时间步积分求解，随着构形的变化不断更新坐标，允许介质有大的变形。岩土工程中非线性问题的难点主要是跟踪物体变形过程的积分问题[5]，拉格朗日法是用差分方法按时间步积分的一种求解非线性大变形问题的有效方法。拉格朗日法已有不少商用软件，如FLAC等。
　　4.离散元法
　　离散元法是1971年由Cundall首先提出来的[6]。离散元法主要是适合节理岩体应力、变形分析的一种非连续力学数值方法。它以被节理切割成的分离的离散块体为出发点，块与块之间相互接触，每个块体的运动取决于它所受到的相邻块体给它的力。若合力和合力矩不等于零，则块体要依牛顿第二定律而运动。其主要特点是块体单元边界间不要求连续，但不能彼此嵌入。该方法已广泛应用于岩土体力学问题的分析中，且能够模拟岩块的破碎和爆破的运动情况。但该方法的动力求解过程中引入了阻尼来消除多余的动能，从而实现能量耗散，而阻尼在通常情况下是难以确定的。为避开阻尼、时步等参数的确定，Stewart等[7]1984年提出了静态松弛的离散元法，用来模拟地下开挖的不连续形态。静态松弛法根据不平衡力作用的块体达到再平衡时力与位移的关系逐个建立块体的平衡方程组，求解块体形心的位移，从而求得整个体系的变形情况。从解的收敛性来看，静态松弛法在岩体失稳后会出现病态，局部块体的失稳会导致整个计算过程的失败，在功能和适用性方面还远没有达到动态松弛离散元的程度。离散元法也发展较快，代表性的程序有美国ITASCA公司开发的UDEC和3DEC等。
　　5.刚体-弹簧元法
　　刚体-弹簧元法首先由日本学者Kawai于1977年提出来[8]，它用一种由刚性块体和弹簧系统组成的计算模型来模拟裂隙岩体的变形。该方法将分析域离散为刚性块体，不同块体之间用法向和切向弹簧相连，假定刚性块体不发生变形，结构的变形能仅在接触面的弹簧中，块体形心处的刚体位移为基本变量，用分片的刚性位移模式模拟实际的整体位移场，并用边界应力反映结构内部的应力。后来，有学者改进了此方法，将刚体变为可变形块体，即块体-弹簧模型。对于小变形、小位移问题，该方法十分有效。Kawai等[8]之后将它应用于连续介质问题中的裂纹扩展跟踪问题。该方法能够有效处理非线性问题，该方法对体系的静力学条件考虑得比较充分，但不能满足所有的运动学条件，使得大位移特别是转动位移不能得到模拟，故该方法一般限于求解小变形问题。
　　6.关键块体理论
　　1977年石根华博士发表了《岩体稳定分析的赤平投影方法》一文[9]。1985年，Goodman和Shi[10]正式提出了关键块体理论。该理论实质上是一种几何学的方法，其认为保持岩体稳定性最重要的因素是结构面切割出来的关键块体，即关键块体对岩体的破坏起控制作用。该理论是一种通过判别和描述开挖面最危险岩石块体运动来确定岩体稳定性的分析方法。关键块体理论假定结构面为平面，结构体为刚体。关键块体理论已经被用于分析在地下水、地震等外荷载作用下的块体稳定性。王思敬和薛守义[11]1989年应用关键块体理论分析岩体边坡块体的滑动位移；裴觉民等[12]1990年应用该理论分析了水电站地下厂房洞室的稳定问题；邬爱清等1988～2001年对关键块体理论应用于工程问题中所涉及的凹形块体问题、块体水压模拟等问题进行了研究，并将关键块体理论应用于三峡船闸高边坡及地下厂房块体稳定性分析[13-17]。有些学者还将随机理论引入其中，分析块体系统的可靠度问题[18-19]。关键块体理论在边坡、地下洞室和坝基等工程中有其独最的优势。关键块体理论仍属于一种拓扑学的分析方法，假定块体为刚体，没有考虑块体系统的应力、变形等。
　　7.DDA方法
　　DDA方法是由石根华博士提出来的[20]。DDA方法与离散元法一样，适用于非连续介质如节理岩体的应力分析。该方法采用幂级数多项式位移函数来模拟岩石块体的变形，以多项式系数为基本未知量，利用变分原理建立整体平衡方程，在求解过程中严格满足块体间无张拉、无嵌入的接触条件。DDA方法不仅允许块体本身存在变形，还允许块体间有滑动、转动、张开等运动形式，非常适合分析系统中非连续大变形的情况。近年来，许多学者对DDA方法进行了改进和应用。Koo和Chern[21]1996年发展了高阶位移函数的DDA方法；Liang和Wang[22]1996年对原有方法的罚函数进行了改进，提出了拉格朗日DDA方法；郑榕明等[23]2000年对DDA方法与有限元法进行耦合计算分析。DDA方法被广泛应用于岩土工程中，裴觉民和石根华[24]1993年应用该方法分析滑坡的动态失稳过程。Thomas 等[25]和张国新等[26]将DDA方法应用于土力学的研究中。邬爱清等[27]1997年初步利用该方法分析岩体工程中边坡开挖和地下洞室的稳定性问题。此外，有学者还将该方法用于分析岩爆问题[28]。DDA方法在分析问题时通常要将研究对象完全离散，不太适合对连续问题和半连续问题进行分析。
　　8.数值流形方法
　　数值流形方法是石根华博士1991年创立的一种新的数值方法[29-30]。它以拓扑流形和微分流形为基础，利用有限覆盖把连续和非连续的计算统一到数值流形中去。数值流形方法以数值流形为核心，在DDA方法的块体系统运动学理论的基础上，吸收了有限元法、DDA方法和解析法的优点，采用连续和不连续的覆盖函数，对连续问题和不连续问题建立了一种统一的求解格式，是一种相当有发展潜力的数值分析方法。
　　1.3 数值流形方法的特点……