第1章 模糊集和模糊逻辑系统
本章介绍有关模糊集合、模糊逻辑系统和模糊T-S模糊模型的一些主要知识，这些知识是后面各章节的基础。
1.1 模糊集合及其性质
定义1.1.1映射μA(x)：X→［0，1］称为论域X上的模糊子集合，记为A。μA(x)称为x相对于模糊集合A的隶属度，也称为模糊集合A的隶属函数。
由定义1.1.1可知，论域X的一个模糊集合A完全由隶属函数μA(x)所刻画。x对模糊集A的隶属程度由μA(x)在闭区间［0，1］上的取值大小来反映。特别地，当μA(x)的值域为｛0，1｝时，隶属函数将变成集合X上的特征函数，即模糊集合变成了清晰集合。因此，模糊集合是清晰集合在概念上的拓广，清晰集合是模糊集合的一种特殊形式。
模糊集合有多种表示方法，*基本的表示方法是将它所包含的元素及其相应的隶属函数表示出来。它可以用如下的序偶形式来表示：
A=｛(x，μA(x))｜x∈X｝
也可表示成
(1.1.1)
下面是模糊集合的例子。
例1.1.1 设论域X为“年龄”，在X=［0，200］上定义两个模糊集合“少年”和“老年人”，这两个模糊集分别用Y和O表示，其隶属函数如图1-1所示。
图1-1 模糊集合的隶属函数
隶属函数是模糊集合的重要组成部分，它是人为主观定义的一种函数。在理论上，隶属函数描述了论域内所有元素属于模糊集合的强度。在实际中，人们常常用有限的数值来定义一个模糊集，中间值则用内插值法计算。常见的隶属函数有指数函数、高斯函数和线性函数等。在工程实际应用中，为了计算方便，常采用线性函数的形式。下面给出有关模糊集合的几个重要概念。
定义1.1.2 设A是X上的一个模糊集合，则称
suppA=｛x｜x∈X，μA(x)＞0｝(1.1.2)
为模糊集合A的支撑集（见图1-2）。
图1-2 模糊集的支撑集
定义1.1.3 设A是X上的一个模糊集合，如果A的支撑集仅为一个点，且在该点的隶属函数μA(x)=1，则称A为单点模糊集。
定义1.1.4 设A是X上的一个模糊集合，定义A的α截集（见图1-3）为
Aα=｛x｜x∈X，μA(x)≥α｝ (1.1.3)
模糊集合A的α截集Aα实际上是一个普通集合。
图1-3 模糊集的α截集
同理，可以定义模糊集的强截集A=｛x｜x∈X，μA(x)＞α｝。
1.2 模糊集合的基本运算
定义1.2.1 设A和B是论域X上的两个模糊集，如果x∈Ｘ，μA(x)≤μB(x)，则称A包含于B，或B包含A，并记作AB。若x∈Ｘ，μA(x)=μB(x)，则称A等于B，记作A=B。
用表示隶属函数恒为0的模糊集，X表示隶属函数恒为1的模糊集，则有下面的性质：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) 。
定义1.2.2 设A和B是论域X上的两个模糊集，μA(x)和μB(x) 分别为A和B的隶属函数，定义并集A∪B的隶属函数为
(1.2.1)
交集A∩B的隶属函数为
(1.2.2)
A的补集的隶属函数为
(1.2.3)
定义1.2.3 设A和B是两个模糊集，其论域分别为X和Y，称积空间X×Ｙ上的模糊集合A×B为A和B的直积，其隶属函数为
(1.2.4)
或者
(1.2.5)
模糊集与经典集合有着相同的运算性质。
(1) 分配律：
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
(2) 结合律：
(A∩B) ∩C=A∩(B∩C)
(A∪B) ∪C=A∪(B∪C)
(3)交换律：
A∪B=B∪A
A∩B=B∩A
(4)吸收律：
(A∩B)∪A=A
(A∪B)∩A=A
(5)幂等律：
A∪A=A，A∩A=A
(6)同一律：
(7)荻 摩根律：
(8)双重否定律：
值得指出的是，普通集合中成立的排中律和矛盾律对于模糊集合不再成立，即在模糊集合运算，特别是模糊推理中，还常常用到其他类型的运算，下面列出主要的几种。
(1) 代数和：
(2) 代数积：
(1.2.7)
(3) 有界和：
(1.2.8)
(4) 有界积：
(1.2.9)
(5) 强烈和：
(1.2.10)
(6) 强烈积：
(1.2.11)
1.3 模糊集合的基本定理
分解定理和扩展原理是模糊数学中的两个重要定理，它们在理论研究中有广泛的应用。
定理1.3.1(分解定理)设A是论域X上的模糊集，Aα是A的α截集，其中α∈［0，1］， 则下列分解式成立：
(1.3.1)
式中，αAα也是论域X上的一个模糊集，被称为α与截集Aα的“乘积”，其隶属函数定义为
(1.3.2)
上述关系可用图1-4来表示；当α取不同的αi(i=1，2， ，n)值时，可由图1-5 直观表示。当α在闭区间［0，1］取遍所有值时，按∪α∈［0，1］αAα求模糊集“并”运算，也就是取各个α∈［0，1］水平集隶属函数上的点，并且连接成为一条曲线。显然，该曲线与μA(x)重合，这就是分解定理的物理意义所在。
分解定理的另一种表现形式为
(1.3.3)
或
(1.3.4)
图1-4隶属函数
图1-5分解定理示意图
定义1.3.1设映射
f：X→Y，若AY，则称f(A)=｛f(x)｜x∈A｝为A在映射f下的“像”；若BY，则称f-1(B)=｛x｜f(x)∈B｝为B在映射f下的“原像”。
由上述定义，对于幂集P(X)与P(Y)，可诱导出一个新的映射g，即
(1.3.5)
用特征函数表示，有
(1.3.6)
并且，当时。同样有相应的逆映射
(1.3.7)
用特征函数表示，有
(1.3.8)
对于模糊集合，能否将映射g扩展到幂集F(X)和F(Y)上去呢？这是1965年L.A.Zadeh 给出的著名的扩展定理所解决的问题。
定理1.3.2 (扩展原理)设映射f：X→Y，由f诱导一个新的映射，记为f～，有
(1.3.9)
由f～诱导出另一个新的映射f～-1，有
(1.3.10)
这时，f～(A)称作A在f～下的像，而f～-1(B)称作B在f～下的原像。这里的f～为f的扩展。A通过f～映射为像f～(A)时，它的隶属函数的值保持不变。
由扩展原理，并设f：X→Y，指标集为Z，i∈Z，有下面的性质：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)，当f为单射时，等号成立；
(5) ；
(6) 若f为满射，则；
(7) 若f为满射，则；
(8) 若B1B2，则；
(9) ；
(10) ；
(11) 。
扩展定理是模糊集合中一个很重要的定理，已得到了广泛的应用。如果说分解定理是模糊集与清晰集之间的纽带，那么扩展原理是把清晰集合中的数学方法扩展到模糊集合中的有力工具。
1.4 模糊关系
在日常生活中，除了如“电源开关与电动机启动按钮都闭合了”、“A=B”等清晰概念上的普通逻辑关系以外，还会遇到一些表达模糊概念的关系语句，例如，“妹妹和妈妈很相像”、“小明的个子很高”等。普通关系只是表示事物(元素)间是否存在关联， 而模糊关系是描述事物(元素)间对于某一模糊概念的关联程度。用普通关系来表示模糊概念上的关联是不可能的，所以，需用模糊关系来表示。
1.4.1 模糊关系的定义及其表示方法
定义1.4.1 n元模糊关系R是定义在积空间X1×X2× ×Xn上的模糊集合，它表示为
(1.4.1)
通常用得较多的是n=2时的模糊关系。
值得指出的是，模糊关系也是模糊集合，可用表示模糊集合的方法来表示。此外，当X和Y为有限集合时，常用模糊矩阵来表示。
设
X=｛x1，x2， ，xn｝和Y=｛y1，y2， ，ym｝为有限集合，X×Y上的模糊关系R可
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