常微分方程稳定性理论和Lyapunov函数方法的重要价值与意义在一百多年来的发展历史中已经得到了充分的证明，形成了从理论到应用的一个非常丰富的体系。 本书较系统地介绍了常微分方程稳定性理论和Lyapunov函数方法的基础内容和应用，从中读者可基本了解常微分方程稳定性理论的发展状况和研究方法。本书共计二十一节内容，可划分为两个部分。第一部分从第1节到第12节，内容包括：基本定理，稳定性基本定义，Lyapunov函数，稳定、渐近稳定、不稳定和全局稳定的基本定理，解的渐近性质，稳定性比较方法，解的有界性定理等。第二部分从第13节到第21节，内容包括：Lyapunov函数构造方法基础和稳定性理论在力学系统、商品价格系统、种群动力系统、传染病模型、控制系统和神经网络的基本应用等。 本书适用于数学各专业高年级本科生和研究生，以及从事微分方程理论及应用教学与科学研究的教师与科技工作者。

第1节 常微分方程基本概念
　　1.1 常微分方程的定义
　　设R=(-∞，∞)，Rn表示n维欧氏空间，对任何向量x∈Rn，x的模记为|x|.设是一个区域，是一个已知的标量函数.设x=x(t)是一个以t∈R为自变量的未知函数，则如下关系式
　　(1.1)
　　称为一个n阶常微分方程，简称n阶方程.
　　进一步，设是一个已知的n维向量函数.设x=x(t)是一个以t∈R为自变量的n维向量未知函数，则如下关系式
　　(1.2)
　　称为一个n维一阶常微分方程组，简称一阶方程组.
　　如果我们令
　　和
　　则一阶方程组(1.2)可以写成如下联立方程组的形式:
　　此外，n阶方程(1.1)也可以通过引进如下的变量转化成一阶方程组的形式.具体方法如下:设，则我们有
　　这是一个n维的一阶方程组.
　　由于任何一个n阶方程都可以通过上述方法转化为一个n维的一阶方程组，
　　因此从第2节开始我们只对一阶方程组进行讨论.
　　1.2 解的定义
　　设x=x(t)是定义于区间I.R上的有直到n阶导数的标量函数，如果对一切，则称x(t)是n阶方程(1.1)定义在区间I上的一个解.
　　设x=x(t)是定义于区间I.R上的有一阶导数的n维向量函数，如果我们有对一切t∈I，则称x(t)是一阶方程组(1.2)定义在区间I上的一个解.
　　显然，一个常微分方程可以有许多个解.将一个方程的所有解放在一起组成一个函数集合，称为这个方程的解集合.为了确定常微分方程的某个固定的解，就需要确定这个解的定解条件.定解条件通常有初始条件和边界条件.这里我们主要关心初始条件.对于n阶方程(1.1)，初始条件通常定义为如下形式:
　　(1.3)
　　其中t0∈R称为初始时刻，称为初始值，它们都是已知的值.对于一阶方程组(1.2)，初始条件通常定义为如下形式:
　　(1.4)
　　其中t0∈R称为初始时刻，x0∈Rn称为初始值，并且它们都是已知的值.
　　确定n阶方程(1.1)的满足初始条件(1.3)的解的问题称为n阶方程(1.1)的初值问题，通常记为确定一阶方程组(1.2)的满足初始条件(1.4)的解的问题称为一阶方程组(1.2)的初值问题，通常记为
　　1.3 相空间、轨线、平衡点、周期解
　　对于一阶方程组(1.2)，我们称变量x所在的空间Rn为它的相空间.
　　设x=x(t，t0，x0)是一阶方程组(1.2)的满足初始条件(1.4)的解，定义区间为I，显然t0∈I.则相空间Rn中的集合
　　和
　　分别称为解x(t，t0，x0)所对应的轨线、正半轨线和负半轨线.有时也称轨线为积分曲线.
　　对于一阶方程组(1.2)，如果存在一个常数向量使得对一切t∈R，则称是它的一个平衡点.
　　显然，一阶方程组(1.2)的平衡点x=x.也是它的一个解，并且是常数解.
　　设x=x(t)是方程组(1.2)定义于[t0，∞)上的一个解，如果存在常数ω>0使得x(t+ω)=x(t)对一切成立，则称x(t)是方程组(1.2)的一个周期解，且ω是它的一个周期.注意，ω可能不唯一.
　　设是周期解x(t)的一个周期.如果T>0，则T也是周期解x(t)的一个周期，称为*小周期.通常，我们称T>0是解x(t)的周期，指的就是它的*小周期.此时x(t)也被称作T-周期解.
　　平衡点和周期解是方程组(1.2)的两类特殊解，它们在一阶方程组(1.2)的解的性质的研究中具有非常重要的作用.
　　1.4 自治方程、周期方程、线性方程
　　在常微分方程理论中，我们通常把方程组(1.2)称为非自治的微分方程组，简称非自治方程组.若方程组(1.2)的右端函数f(t，x)不显含时间t，即方程组(1.2)变为
　　(1.5)
　　这里f(x)是定义在在区域G.Rn上的已知几维向量函数，且满足局部的Lipschitz条件，此时我们称为自治的微分方程组简称自治方程组.若方程组(1.2)的右端函数f(t，x)关于t是周期的，即存在常数ω>0使得对任何的(t，x)∈R×G都有则我们称方程组(1.2)是周期的微分方程组，也称作ω-周期方程组.显然自治的和周期的方程组都是非自治方程组的特殊情况.若方程组(1.2)的右端函数f(t，x)关于x是线性的，即
　　其中，A(t)是n×n函数矩阵，f(t)是n维向量函数，则称方程组(1.2)是非齐次线性方程组，即
　　(1.6)
　　若有f(t)≡0，即
　　(1.7)
　　则称为齐次线性方程组，若还有A(t)≡A为一个常数矩阵，即
　　(1.8)
　　则称为常系数齐次线性方程组.
　　第2节 基本定理
　　本节将介绍常微分方程解的一些基本定理，即解的存在唯一性定理、解的延拓定理、解对初值的连续性定理，以及解对参数的连续性定理，它们是本书所涉及内容的理论基础.
　　考虑如下一般形式的n维常微分方程组
　　(2.1)
　　其中是定义于区域Ω.R×Rn上的n维向量函数，即.
　　定义2.1 (1)称f(t，x)在Ω上关于x满足Lipschitz条件，如果存在常数L>0使得对任意的(t，x1)，(t，x2)∈Ω都有.
　　(2)称f(t，x)在Ω上关于x满足局部的Lipschitz条件，如果对任意的(t0，x0)∈Ω，存在(t0，x0)的一个邻域和一个常数，使得对任意的(t，x1)，(t，x2)∈U都有
　　这里，常数L通常称为Lipschitz常数.
　　在本节中我们始终假设方程组(2.1)的右端函数f(t，x)在Ω上连续，并且关于x满足局部的Lipschitz条件.
　　首先研究方程组(2.1)的初值问题的解的存在唯一性问题，我们有下面的结果.
　　定理2.1(解的存在唯一性定理)对任何(t0，x0)∈Ω，初值问题
　　(2.2)
　　存在唯一的解，定义于区间Δ=[t0.h，t0+h]，且满足.(t0)=x0，这里h>0是某个确定的常数.
　　关于这个定理的证明我们有许多种方法，其中之一就是逐步逼近法，这个方法在常微分方程教程中都有叙述.还有一个方法就是使用Banach压缩映射原理.
　　下面我们介绍这个方法.
　　证明选取(t0，x0)在Ω中的一个矩形邻域如下:
　　并且使得f(t，x)在此邻域内关于x满足Lipschitz条件，L为相应的Lipschitz常数，其中a和b是正常数.我们令常数.
　　首先，不难证明，在定理条件下，初值问题(2.2)的定义于Δ上的解的存在唯一性等价于如下积分方程的定义于Δ上的连续解的存在唯一性.
　　(2.3)
　　不失一般性，以下我们只就Δ的右半区间Δ+=[t0，t0+h]来讨论，至于左半区间的情况是类似的.
　　我们用C[Δ+]表示所有定义于Δ+上的n维连续函数.构成的空间，并且定义它的模为
　　其中β>L是一个常数.空间C[Δ+]有下面的一个重要性质.
　　压缩映射原理设D是空间中的一个非空闭子集，而T是D到其自身的一个映射.设存在常数0<α<1使得对任意的有则必存在唯一的.0∈D使得.
　　这个原理是由波兰数学家Banach建立的，也称作Banach压缩映射原理.它是泛函分析理论中一个非常重要的结果，在泛函分析教程中都有证明，因此我们这里就不给出证明了.
　　选取C[Δ+]中的一个闭子集合

目录
《生物数学丛书》序
前言
第1节 常微分方程基本概念 1
1.1 常微分方程的定义 1
1.2 解的定义 2
1.3 相空间、轨线、平衡点、周期解 3
1.4 自治方程、周期方程、线性方程 4
第2节 基本定理 5
第3节 稳定性的基本定义 15
第4节 Lyapunov函数 29
第5节 稳定的基本定理 37
第6节 渐近稳定的基本定理 42
第7节 不稳定的基本定理 52
第8节 全局渐近稳定的基本定理 57
第9节 解的渐近性质 65
第10节 解的一般有界性 71
第11节 解的*终有界性 82
第12节 稳定性的比较原理 92
第13节 线性方程组的Lyapunov函数 101
第14节 线性近似决定的稳定性 108
第15节 类比法构造Lyapunov函数 112
第16节 力学系统的稳定性 120
第17节 生物种群系统的稳定性 126
17.1 几个基本概念 126
17.2 单种群模型 127
17.3 捕食与食饵模型 130
17.4 一般两种群Lotka-Volterra模型 136
第18节 传染病系统的稳定性 140
第19节 市场价格系统的稳定性 148
19.1 模型、问题和假设 148
19.2 预备引理 151
19.3 主要结论 152
第20节 控制系统的稳定性 163
20.1 间接控制系统的绝对稳定性 164
20.2 直接控制系统的稳定性 167
第21节 人工神经网络模型的稳定性 170
21.1 细胞神经网络模型的平衡点和稳定性 172
21.2 Cohen-Grossberg神经网络模型的平衡点和稳定性 176
参考文献 180
《生物数学丛书》已出版书目 181