第1章 绪论
1.1 研究背景和意义
不确定性是客观世界的本质属性[1]，也是基础科学研究和工程应用研究不可忽视的客观存在。人类对不确定性的认知经历了漫长的过程。大约2300多年前，我国著名的哲学家庄子在《齐物论》中提到“物无非彼，物无非是。自彼则不见，自知则知之 是亦彼也，彼亦是也 ”，从认知层面给出了世界具有不确定性的重要论述[2]。8世纪，西方著名哲学家大卫 休谟指出“对不确定性的认知是人类知识的起点”。然而在后期的发展中不确定性并没有引起学者的关注，直到1927年德国物理学家海森伯首次提出不确定性原理，并采用科学的手段论证了粒子的不确定性[3]，才使得不确定性概念被广泛接受。在这之前，以牛顿经典力学为基础的确定性理论统治一切，其认为整个宇宙是一个确定性的动力学系统[4]，只要知道世界某一时刻的状态便可预测未来发生的任意事件。19世纪后期，玻尔兹曼、吉布斯等人把随机性引入物理学，建立了以牛顿定律对群体行为进行确定性描述和以“概率”对个体行为进行不确定性描述的统计力学[4]。20世纪初，量子力学的出现，揭示了不确定性是自然界的本质属性，进而建立了不确定性理论。在哲学发展中对确定性和不确定性的关系认识也逐渐统一，认为不确定性是绝对的，而确定性是相对的，二者是既对立又统一的辩证关系[5]。
近年来，随着计算机性能的飞速发展和人类认知水平的快速提升，无论是基础科学研究还是工程应用研究，世界各国对不确定性研究的重视程度越来越高，美国国家科学院、美国国家航空航天局、劳伦斯-伯克利国家实验室、美国机械工程师协会、圣地亚国家实验室、欧洲核子研究小组等都组织了高水平研究团队进行重点攻关。2006年，美国国家科学基金会明确将不确定性量化与优化列为未来工程与科学仍具有“挑战、困难和机遇”的核心问题[6]。2013年，美国国家研究委员会在出版的《2025?年的数学科学》中强调：“不确定性量化是一门新兴交叉性极强的综合性学科”[7]。2020年，美国国家科学院关于科学可重复性和可复现性的报告中提到“不确定性是科学固有的一部分，科学家认识、描述研究和结果中的不确定性是他们义不容辞的责任”[8]。过去十年，我国高等院校、科研院所等机构持续加强了对不确定性领域的研究，根据国家自然科学基金统计数据，以“不确定性”为检索词，获批的研究项目翻了一倍多，从331个增加到670个，资助金额增长近两倍，从10694万增加到30479万。
随着现代化工业进程加速发展，机械装备也正在向高度复杂化、精细化、智能化方向发展，其可靠性与安全性问题日益凸显。然而，由于技术条件、认知水平的局限性并考虑经济性，在实际工程问题中不可避免地会存在大量不确定性因素，这导致复杂机械装备在设计和分析过程中会面临巨大的挑战。这些不确定性因素主要来自以下几个方面：
(1) 载荷不确定性。机械装备在运行或工作过程中会受到外部激励作用，服役环境通常会对外部激励产生影响，如飞机在飞行过程中受到的风载荷、舰艇在海面上受到的浪载荷、车辆在行驶中受到的路面载荷、堤坝受到的水流冲击载荷及光伏设备受到的太阳辐射等。这些外部激励通常是不固定的，在空间或时间上存在一定的不确定性[9-13]。
(2) 几何不确定性。零部件在生产加工过程中因加工精度、生产工艺等技术条件限制及其组装调试过程中人为因素影响会产生诸多误差，如加工误差、测量误差、装配误差等，导致机械装备存在几何不确定性[14-17]。
(3) 材料不确定性。材料在制备合成过程中不论是宏观结构还是微观组织都不是一成不变的，受材料设计、制备环境、制备工艺等影响，其结构和组织都是不同的，宏观层面上如排列方式、成分配比等，微观层面上如孔径尺寸、气泡数量、杂质含量等[18-20]。尤其是一些对光、热等比较敏感的材料，不同批次材料的性能必定会存在差异性，即便是同批次材料，也很难保证其特性完全相同。此外，材料在服役过程中的性能也会不断发生变化，如氧化、老化、硬化等[21-23]。
(4) 边界条件不确定性。工程实际问题往往是非常复杂的，结构件之间的接触、流固耦合之间的相互作用等边界条件很难准确设定，导致其存在较大的不确定性，如冲压过程中凸凹模与板料之间的动摩擦系数、流场分析中有无黏性及雷诺数确定等[24-27]。
(5) 控制不确定性。高端装备通常是一种高度非线性强耦合的复杂系统，控制系统就如同人的“大脑”，通过若干个传感器实时反馈的信息来对复杂系统进行有效调控，然而，在服役环境中由外界扰动、传感器分辨率不同等导致的反馈信息会存在一定偏差，很难对系统进行准确控制，这使得复杂机械装备存在控制不确定性[28-30]。
(6) 模型不确定性。数值模拟是一种重要的分析手段，可以大大减少物理实验次数、降低研发成本、缩短设计周期等，有效克服传统设计中面临的设计质量差、设计效率低、开发成本高等困难。然而，工程实际问题非常复杂，在现有技术和认知水平下，很难建立与真实情况完全相同的数值模型，只能对实际问题进行简化或等效，数值模拟从本质上而言是对真实问题的一个近似，其模型本身存在一定的不确定性[31-33]。
(7) 环境不确定性。机械装备的服役环境并不是固定不变的，服役环境的改变势必会影响装备的性能，如南北温差会影响电动汽车电池性能，风速快慢会影响弹丸落点的精度，振动环境会影响机床加工精度和寿命等[34-36]。因此，机械装备的服役环境也具有不确定性。
通常情况下不确定性对系统的影响较小，但来自不同阶段、不同模块的多源不确定性发生相互耦合并进行放大传播，会导致不确定性参量即便只发生微小变化也会使产品或系统产生较大的偏差、抑或失效甚至引发重大事故。例如，1986年，美国发射的“挑战者号”航天飞机失事和乌克兰发生的“切尔诺贝利核电站事故”，都是因为在设计中忽视了不确定性因素的影响，导致系统发生了无法预知的变化，*终造成了毁灭性的灾难。在机械装备设计、生产及服役中如果不考虑多源不确定性因素的影响，就会大大降低系统或产品的可靠性及安全性。因此，发展不确定性理论与方法，科学系统地对不确定性进行度量、评估及控制，对提高机械装备系统可靠性和安全性具有重要作用，同时也对提升我国装备制造业自主创新能力、应对行业重大需求及保障国家战略安全等方面具有重要意义和工程价值。
1.2 国内外研究现状
不确定性是一门新兴交叉学科，涉及领域非常广泛，如高端装备设计、新材料合成、精密加工、人工智能、新能源汽车等。不确定性领域的研究已成为当前全球研究热点，受到了学者的高度重视。Oberkampf等[37]在2004年围绕不确定性提出了著名的两个挑战问题：认知不确定性的表达与传播和认知不确定性与随机不确定性的混合。2011年，国际顶级期刊Reliability Engineering & System Safety采用专题的形式出版了一期有关不确定性量化的*新研究[38-40]。不确定性量化也成为国际学术界*为活跃的前沿交叉学科之一。为了进一步促进不确定性相关研究的学术交流，美国Begell集团、美国工业与应用数学协会和美国统计学会于2011年、2014年分别创建了不确定性领域的专业学术期刊International Journal for Uncertainty Quantification和SIAM-ASA Journal on Uncertainty Quantification，并于2012年创办了两年一届的国际学术会议“SIAM Conference on Uncertainty Quantification”[41]。不确定性研究正/反问题分析基本框架如图1-1所示，其涉及的主要内容包括：不确定性量化与传播分析、敏感性分析、不确定性反问题、可靠性评估、不确定性优化设计、模型构建、系统集成与软件开发以及工程应用等。
1.2.1 不确定性分析理论与方法研究现状
从认知的角度来看，通常不确定性分为两类[42-46]，即随机不确定性(aleatory uncertainty)和认知不确定性(epistemic uncertainty)。随机不确定性，也称为客观不确定性或统计不确定性，是由系统本身固有的物理属性或环境因素所引起的，不能通过提高认知水平或增加数据来消除[47-51]。随机不确定性在表现形式上具有统计特性，通常采用概率的手段来描述，用概率密度函数来表征设计变量的不确定性。认知不确定性，又称为主观不确定性，是由对所研究对象描述不准确或数据不足而造成的[52-54]。随着认识水平的提高和样本数据的增多，认知不确定性会逐渐减少，甚至会被消除。围绕这两类不确定性的理论、方法及工程应用，学者开展了大量的研究工作，并取得了一系列研究成果，建立了多种不确定性分析理论，主要包括概率理论、模糊集理论、可能性理论、区间分析理论、P-box理论、证据理论、凸集理论、聚类多边形理论等。
图1-2 为不确定性理论发展时间历程图。
图1-1 不确定性研究正/反问题分析基本框架
1. 随机不确定性理论研究
随机不确定性理论是统计学的重要组成部分，其研究对象是自然界中的随机性，具体指的是在基本条件不发生变化的情况下，观察或测试结果都具有偶然性。对于单个事件，其随机不确定性是杂乱无章的，而对于大量事件，其总体行为又呈现一定的统计学规律。虽然人类对随机现象的认识无从考证，但有一点可以确定：人的诞生(主要指性别)本身就具有随机性。概率论是量化随机不确定性的重要手段，其起源与博弈问题相关。16世纪，意大利一些学者关注掷骰子等赌博中的随机问题，即判断出现某些点数的可能性。17世纪初，伯努利建立了概率论中
图1-2 不确定性理论发展时间历程
第一个极限定理，即伯努利大数定律，他撰写了概率论史上第一部里程碑性质的专著《推测术》，对推动概率论成为数学分支做出了巨大贡献；同时期，棣莫弗也对概率论展开了广泛而深入的研究，完成了概率论史上第二部里程碑性质的著作《机遇论》。17世纪中叶，针对一些复杂的赌博问题，数学家帕斯卡、费马和惠更斯基于排列组合的方法解决了合理分配赌注、输光等问题，此方法并不是直接计算赌徒赢局的概率，而是计算期望的赢值，这也是统计学中期望的由来。18世纪，拉普拉斯在总结前人工作的基础上写出了概率论史上第三部里程碑性质的专著《概率的分析理论》，在这部著作中，他首次明确规定了概率论的古典定义。19世纪，数学家马尔可夫、李雅普诺夫以及切比雪夫等人，相继引入了随机变量、概率密度函数、分布函数等，使得数学分析开辟了概率论这一新的领域。1933年，柯尔莫哥洛夫率先使用测度论作为概率严格表述的工具，建立了概率论公理化体系，在他出版的著作《概率论基础》中第一次定义了概率测度论，以及首次提出了严密的公理体系，从客观实际出发，概括了概率的古典定义、几何定义以及频率定义，这也是概率论发展史上的里程碑著作。20世纪初，根据实际问题需要以及受到物理学刺激，人们开始研究随机过程。1905年，爱因斯坦和斯莫卢霍夫斯基分别从不同的概率模型求得了布朗运动质点的转移密度。1907年，马尔可夫在研究随机变量序列时，提出了马尔可夫链的概念，为后续随机过程的研究奠定了重要基础。1923年，维纳第一次提出了将三角级数做布朗运动的严格数学定义。随着概率论理论体系和数学分析方法的完善，随机不确定性的研究日趋成熟，其常用分析方法主要包括如下几种。
(1) 蒙特卡罗法。该方法是一种随机抽样或统计实验方法，根据大数定律和中心极限定理，通过大量的随机实验来获取某系统的不确定性输出[55-57]。基于蒙特卡罗法的仿真分析理论上可以无限接近实际物理过程，且不受系统函数形式、变量个数的约束，简单易实现且结果稳定、精度高，但计算过程严重依赖样本数量，样本数量越多，精度越好，计算成本也随之增加，这也是制约该方法在工程实际问题中应用的关键问题所在。为了提高蒙
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