第1章投资组合选择问题综述
本章首先介绍投资组合选择问题的概念和模型；其次，分别论述均值-方差和期望效用这两种常见目标下的求解方法及*新进展；*后，总结四类常见时变市场下的组合选择模型及一些重要结果。这些方法和结果为本书的求解分析提供了有益借鉴。
1.1投资组合选择问题概述
组合选择（朱书尚等，2004；何朝林和孟卫东，2009；Brandt，2010；Markowitz，2010；郑振龙和陈志英，2012；Rogers，2013；Detemple，2014；Zhangetal，2018），又称资产配置（asset allocation）（Campbell and Viceira，2002；Wachter，2010），是金融学术研究和投资实务关注的核心问题之一。狭义的组合选择问题主要关注单个微观主体在不确定环境中的*优（跨期）投资决策问题，广义的组合选择问题进一步考虑了经济主体的消费、生产、寿险等决策行为，以及建立在此基础上的金融市场乃至整个经济体的一般均衡模型。
Markowitz（1952）建立的均值-方差模型揭开了现代微观金融学的序幕；Sharpe（1964）在此基础上建立了资本资产定价模型（capital asset pricing model，CAPM）。随后，Merton（1969，1971）建立了*优投资消费模型和跨期资本资产定价模型（in-tertemporal capital asset pricing model，ICAPM）（Merton，1973）。金融经济学中的很多问题，如组合保险问题（Brennan and Solanki，1981；Grossmanand Vila，1989；Basak，1995）、套期保值问题（Stulz，1984；Duffie and Jackson，1990；Duffie and Richardson，1991；Basak and Chabakauri，2012）、效用无差别定价问题（Hodgesand Neu-berger，1989；Daviset al。，1993；Musiela and Zariphopoulou，2004a，2004b；Mania and Schweizer，2005）、企业年金或者养老基金的配置问题（Rudolf and Ziemba，2004；Cairns et al。，2006；Bodie et al，2009；刘海龙，2011；张初兵等，2011；张初兵，2014）、保险人（公司）的纯投资及投资和再保险问题（Browne，1995；Hipp and Plum，2000；Yang and Zhang，2005；Wang et al。，2007；Wang，2007）、动态资产负债管理问题（Con-sigli and Dempster，1998；Hoevenaars et al。，2008；Ferstl and Weissensteiner，2011；Yao et al。，2013）等都可以在组合选择模型的框架下进行求解。实证研究（Brinson et al。，1986，1995；Blake et al。，1999；Ibbotson and Kaplan，2000；Ibbotson，2010；Cardinale et al。，2014）表明，资产配置在投资决策中起到决定性作用。
组合选择问题主要研究理性经济人在不确定投资机会集中如何进行决策，以使得一定约束条件下的目标达到*优。经典的组合选择模型中涉及两个核心假设:一个是投资者的优化目标及约束条件，另一个是决策机会集或者经济环境。投资目标及其约束反映了经济人对各种机会的权衡取舍态度以及受到的各种主客观限制。从现有研究来看，均值-方差准则（Markowitz，1952）和冯 诺依曼-摩根斯坦恩期望效用函数（Merton，1969，1971）是组合选择问题中*为常用的两种目标函数；近年来随着行为经济学的发展，损失厌恶（Berkelaar et al.，2004）、双曲折现（Laibson，1997）、模糊厌恶（Bossaerts et al.，2010）等偏好也逐渐开始引起学者的关注。
在狭义的组合选择模型中，投资机会集特指金融市场中资产价格的动态以及决策者面临的各种可能的交易约束。在完全信息（foilinformation）情况下，价格模型及所有涉及的参数对于所有投资者都是已知且相同的。在完美市场（perfect market）中，由于信息完全对称且已知、资金借贷利率相等、不存在买空卖空约束和显隐性交易成本等，投资机会集则简化为资产价格的联合动态过程。在连续时间金融中，通常假设资产的价格服从（多元）几何布朗运动过程，这一假设意味着投资机会集是不随时间变化的，但却与许多现实数据不符。近年来，随着实证资产定价研究的发展，大量更加切近现实市场的时变金融市场模型开始逐渐被引入到组合选择问题中。我们首先论述均值-方差准则和期望效用函数这两种*经典目标下的组合选择模型和求解方法，然后论述几类典型时变金融市场环境下的组合选择模型。
1.2不同投资目标下的组合选择问题
确定投资目标，即经济人的偏好是进行组合选择建模时需要首先解决的问题。一般而言，即使投资集完全相同，不同投资目标下的策略也不完全相同。在半个多世纪以来的组合选择研究中，*常使用的目标当属马科维茨模型（Markowitz，1952）的均值-方差准则和*优投资消费模型（Merton，1969，1971）的冯 诺依曼-摩根斯坦恩期望效用函数。后者在数学上是一个典型的随机*优控制问题，通常可以沿用Merton（1969，1971）的思路首先给出某一投资策略下组合财富演化的随机过程，然后根据有效状态变量确定值函数G旬接效用函数）所满足的HJB方程。其核心是求解HJB方程，一般可以根据边界条件的函数形式猜测出值函数的可能形式，从而降低HJB方程的维度，消除其中的非线性项，*终求得显式解。因为方差不具有迭代期望性质，进而导致均值-方差目标不满足贝尔曼*优性原理，所以无法直接套用经典随机*优控制方法，并且均值-方差目标对应的优化结果和通常意义上的“*优”有一定的区别。由于这两种目标下的模型在方法和结果上存在较大差异，因此我们分别对其进行综述。
在下面的叙述中，假定t为决策开始时刻；T为投资组合绩效评估时刻；为所有决策时刻；为截至j时刻的所有信息；为r时刻的组合财富。
1.2.1基于均值-方差准则的组合选择
均值-方差模型源于Markowitz （1952）的奠基性工作。该模型使用组合收益率的方差来衡量风险，理性投资者面临的*优投资问题是如何选择资产的配置比例，以使得给定风险下组合的期望收益率*大或者在给定期望收益率下组合面临的风险*小；当同时考虑投资组合的期望收益和风险时，投资者的目标可以记为
（1.2.1）
其中，y为风险厌恶系数。在资产预期收益率向量和方差-协方差矩阵给定时，该问题在数学上对应于一个多元二次规划问题，具有显式解。考虑到各种实际约束，在基准模型（1.2.1）的基础上进一步加入无风险资产、卖空和融资约束、持仓上限等。
除风险和收益的权衡外，时间配置是金融决策的另一个重要视角，即未来和现在的抉择。但是Markowitz（1952）的模型是单期的，实际中投资活动并不只进行一次决策，因此，一个自然而然的推广便是多期均值-方差模型，或者在数学上更加易于建模处理的连续时间均值-方差模型。然而相应多期问题却并不容易求解，在单期均值-方差投资组合模型提出后的几十年中，大量研究主要集中于讨论短视多期模型（Campbell and Viceira，1999；Ai't-Sahalia and Brandt，2001；Jagannathan and Ma，2003；Bansal et al”2004；Acharya and Pedersen，2005；Hong et al”2006；Brandt，2010；Campbell et al。，2010）。短视多期模型指投资者在当期只需要优化下一期的目标即可，但是每一期*优并不意味着*终结果*优。
实际中进行多期问题决策时，在每一步除考虑当前状态和下一期的信息外，还必须虑及下一期的下一期及更远时间段的各种可能的变化，如此随着时间的推移依次更新策略直至到期，这便是动态均值-方差组合选择问题。例如，在连续时间完备市场假设下，Bajeux-Besnainou 和 Portait（1998）、Bielecki等（2005）、Cvitanic等（2008），MacLean等（2011）求解了终端期望财富等于预设水平的均值-方差模型。在非完备市场假设下，Cochrane（2014）求解了使得组合收益率的长期方差*小化，但又同时必须保证组合的长期收益率均值等于一个提前设定水平的*优投资策略。
动态问题和静态（单期）问题的*大区别在于动态模型会考虑投资决策集在未来可能发生的各种变化。Brandt（1999），Campbell和Viceira（1999）的研究表明，在多期组合选择问题中，风险资产的配置权重主要来自跨期对冲需求。然而动态均值-方差组合选择问题求解却较为困难，不同于Merton（1969，1971）建立在期望效用函数基础上的连续时间*优投资消费问题，由于方差不具备迭代期望性质，因此贝尔曼*优性原理以及在此基础上建立的经典随机*优控制方法无法直接适用于处理该问题，这方面的研究一直进展缓慢。直到21世纪初，Li和Ng（2000），Zhou和Li（2000）分别在离散及连续时间完备市场假设下，提出了嵌入法（embeddedtechnique），从而可以将原始均值-方差问题转化为一个目标函数为二次函数的辅助优化问题，该辅助优化问题可以直接使用经典的随机控制方法或者鞅方法求解。在此基础上，Wang和Forsyth（2010）利用有限元方法给出了均值-方差准则下嵌入法对应的HJB方程的数值求解方法。Cui等（2012）放松了自融资条件，允许组合存续期内投资者撤回资金，得到了一个占优于自融资均值-方差组合策略的投资策略。Dang和Forsyth（2016）进一步推广了Cui等（2012）的非自融资策略，并给出了嵌入法得到的HJB方程的数值算法。Shi等（2017）则进一步将非自融资占优策略推广到跳扩散市场。
嵌入法的提出极大地推动了动态均值-方差模型的发展，利用该方法求解动态均值-方差模型得到的投资策略通常称为预先承诺策略（pre-committed-strategy）。这是因为均值-方差目标具有时间不一致性（time-inconsistency），即在进行完初始决策后的某个时刻，投资者有一定的动机去偏离初始时刻制定的投资策略，除非投资者严守该承诺。由于长期投资中，管理人可能经常发生变化，故严守承诺通常无法得到保证，这意味着预先承诺策略是不稳定的。
为此，在时间一致决策理论（Strotz，1955）的基础上，Basak和Chabakauri（2010）在非完备非常数投资集市场中，利用全方差分解递推公式，首次给出了动态均值-方差组合的时间一致投资策略的显式解以及几个特殊市场假设下的解析解。随后，Bjork和Murgoci（2014）、Bjork等（2017）分别在离散和连续时间框架下，系统地建立起一类包括但不限于均值-方差目标的时间不一致随机*优控制问题的一般性理论。不同于经典随机*优控制问题中“*优解”的概念，时间不一致问题中的时间一致策略是一个子博弈完美纳什均衡（Nashequilibrium）解，它是稳定的，Bjork给出了该解的严格数学定义并从博弈论的角度阐释了该解的金融学含义。类似于经典随机动态规划问题的HJB方程，Bjork建立了扩展（广义）HJB方程组用来求解时间不一致随机动态规划问题。
随着动态均值-方差问题的完整解决，以及时间不一致随
展开
