第1章 随机微积分基础
本章主要讲授 Brown 运动、有界变差过程、α-稳定过程及其随机积分的定义与性质， *后给出常用的不等式和随机 gronwall 引理， 内容主要取自 [47， 50， 63，88—90， 115， 140， 147，159， 189， 202] 及其参考文献.
1.1 Brown 运动
18 世纪植物学家 Robert Brown 在观察花粉在水中运动时发现了花粉的随机运动现象， 这种现象被称作 Brown 运动， 其数学模型由物理学家 A. Einstein 和控制论的创始人 N. Wiener 给出.
定义 1.1.1 (Brown 运动) 称概率空间 (Ω;F; P) 上取值于 Rd 的随机过程 B = (Bt)t≥0 为 Rd 上的 Brown 运动， 如果满足
(1) B = (Bt)t≥0 具有独立增量， 即对任何， 随机变量是相互独立的;
(2) 对任何 t > s≥0， 随机变量 Bt-Bs 服从正态分布 N(0， t-s)， 即 Bt-Bs的密度函数为
(3) (Bt)t≥0 的几乎所有样本轨道连续.
附注 1.1.1 P(B0 = 0) = 1， 0 是 Rd 的原点， 则称 (Bt)t≥0 为标准 Brown运动.
引理 1.1.1 Laplace 算子 Δ 是 Brown 运动生成热半群的无穷小生成元.
证明 令 p(t， x， y) = p(t， x -y)， 对任意 t > 0， 任意f∈Cb(Rd)， 定义算子Pt:
注意到
从而对任意的f∈Cb(Rd) 有 Pt+sf = PtPsf. 因此{Pt}t≥0 构成 Rd 上的热半群.
事实上， u(t， x) = (Ptf)(x) 是热传导方程
的解， 即是算子半群 Pt 的无穷小生成元.
附注 1.1.2 (-Δ)α是α-稳定噪声生成半群的无穷小生成元.
Brown 运动与 Laplace 算子之间的关系可表示为
下面给出 Brown 运动的数字特征.
命题 1.1.1 若{Bt}t≥0 是 R 上的 Brown 运动， 则对 p≥0有
其中
证明 注意到
作变量代换
则有
再令， 即可得到
特别地， 当 p = 4 时.
命题 1.1.2 若{Bt}t≥0 是 R 上的 Brown 运动， 则对任意的ε∈R 有
证明 显然可得
命题1.1.3 若{Bt}t≥0 是 R 上的标准 Brown 运动， 则协方差函数为 C(s; t) =
证明 由于{Bt}t≥0 的任何有限维分布都是高斯分布， 故 Bt 的中心化期望为 0， 事实上， 对于标准 Brown 运动
由于在实数轴上对奇函数的积分为 0， 上式必然为 0. 对于 s < t， 根据独立增量性质和 EBs = 0. 故可以得到
所以
综上.
命题 1.1.4 Brown 运动的有界变差不存在， 但其二次变差存在.
证明 设 D ={0 = t0 < t1 < < tn = t} 是 [0; t] 上的有限划分， 且
为 Bt 在划分 D 下的二次变差， 由 Brown 运动的性质可知
即 EVD = t. 下面计算 VD 的方差
由 Brown 运动独立增量性质， 上式乘积期望等于期望乘积， 根据，上式后一项为 0， 所以
根据，所以
这样就证明了 Brown 运动的二次变差有界.
命题 1.1.5 若{Bt}t≥0 是一维标准 Brown 运动， 则对任意 t > 0 有
其中 D 是 [0， t] 的有限分划.
证明 显然
所以， 随着.
如果分划取得更好， 上述收敛性可以加强到几乎处处收敛.
命题 1.1.6 若{Bt}t≥0 是一维标准 Brown 运动， 则对任意 t > 0， 当 n→1时， 有
其中分划 Dn 是 2n 等分.
证明 设分划， 那么
利用 Markov 不等式
可得
因此可得
由 Borel-Cantelli 定理可知 VD → t a.s
定义 1.1.2 如果一个随机过程的几乎所有样本轨道在有限区间上具备有界变差， 则称该随机过程为有限变差过程.
由上述讨论可得到 Brown 运动的几个重要轨道性质.
推论 1.1.1 有如下结果成立.
(1) 当 p >2时，
即 Brown 运动是有限 p-变差的;
(2) Brown 运动是有限 p-变差过程， 但不是有限变差过程;
(3) 当时， Brown 运动的几乎所有轨道是α-Holder 连续的， 但它不是-Holder 连续的;
(4) Brown 运动的轨道几乎处处连续而又几乎处处不可微;
(5) B=(Bt)t≥0是连续平方可积鞅，也是连续鞅， 当 d = 1 时，是一个连续鞅.
定义 1.1.3 (独立增量过程) 设或是一个以局部紧 Abel 加群 (G，+∞) 为状态空间的随机过程， 如果对任意相互独立， 称 X 是一个独立增量过程.
定义 1.1.4 (平稳过程) 概率空间 (Ω，F，P) 上的状态空间为 E 的随机过程称为平稳过程， 如果其任何有限维分布是平移不变的. 也就是R+ 为一个时间半群， 即加法封闭， 且对任何， An∈E， 有
引理 1.1.2 考虑 Rd上的热传导方程
其中 Δ 为 Laplace 算子. 那么
为上述热传导方程的一个解.
证明 由于
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