第1章绪论
　　1.1RH问题
　　1.1.1RH问题的产生和发展
　　1900年，Hilbert在巴黎国际数学家大会演讲中，提出23个著名的数学问题，其涉及现代数学大部分重要领域，对20世纪数学发展进程产生了深远的影响.到目前为止，Hilbert问题近半已经获得解决.Hilbert的第21问题为“具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明”，通常称作RH问题，其定义如下:
　　设Σ为复平面C内的有向路径，的自相交点}，假设存在一个在上光滑的映射，则(Σ，V(z))决定了一个RH问题:寻找一个n×n矩阵M(z)满足.
　　.M(z)在C\Σ上解析;
　　.M(z)满足如下的跳跃条件M+(z)=M_(z)V(z)，z∈Σ;(1.1.1)
　　.当z→∞时，M(z)→I，其中M±表示在正负域内点趋于边界Σ上相应的z点时的极限，这里所说的正负域是指当沿着有向路径Σ的方向移动时，位于左边的区域称为正域，位于右边的区域称为负域，RH问题实际上是复平面上矩阵值函数的边值问题.
　　RH问题的解决经历了一个比较曲折的研究过程:1908年，Plemelj对RH问题做出了肯定回答，他的途径是借助Fredholm理论，将RH问题转化为积分方程来处理;1913年，美国数学家Birkhoff又采用逼近方法证明了Plemelj的结果;1957年，Rolle从代数几何的观点将Plemelj的结果推广到一般的Riemann曲面上去;研究RH问题的代数几何途径在20世纪六七十年代又被Deligne大大发展和完善，因此，长期以来，人们一直认为RH问题早已被解决.然而，80年代，Kohn，Arnold等数学家开始发现并指出了Plemelj的工作存在着缺陷.原来，Plemelj定理实际上并不是真正的Fuchsian型方程组，而是比Fuchsian更特殊的正则型方程组，1989年，苏联数学家Bolibruch关于Hilbert的反例.这就是说，在Plemelj的“肯定”结果发表七十多年以后，数学家们才看到Hilbert第21问题在一般情况下不成立.
　　虽然数学是一门精密的科学，但数学家的推理也难保不会出现疏漏，这种疏漏有时甚至能逃过*严格的审查.在这方面，Hilbert第21问题也并非数学史上绝无仅有的例子.例如，著名的四色问题的研究，也发生过这样的情况.1879年，Kempe证明了四色问题，并发表于著名数学家Sylvester任主编的《美国数学杂志》.但十一年以后，英国学者Heawood发现Kempe的证明有漏洞.另一方面，在数学研究中，有时概念和方法比*终结果更为重要，有些数学结果尽管后来被指出有误，但在解决问题过程中发展起来的概念与方法，却依然能够成为有价值的数学财富.虽然RH问题在一般情况下不成立，但RH问题本身被独立发展成解决一大类纯粹和应用数学的强有力的分析工具——RH方法，不仅用于分析可积系统的初值问题解的长期行为、零色散极限问题、Toda格的冲击波、稀疏波问题等，而且在量子场和统计力学模型、无穷维Grassmann流形、全纯向量丛、正交多项式理论、随机排列、随机矩阵理论、组合学等方面也获得了突破性应用.
　　本书中，我们主要关心RH方法在可积系统、正交多项式和随机矩阵理论中的应用，由于目前这三个方面内容非常丰富，我们仅限于基本的方法和技巧，希望给大家提供一个快速入门的资料.
　　1.1.2RH方法和思想
　　将所研究问题转化为复平面上RH问题解决的过程和技巧称为RH方法，用RH方法解决问题一般都需要两个标准步骤:
　　(1)将要解决的问题转化为复平面上的RH问题，即将要解决的问题提升到复平面去考虑;
　　(2)用速降法等技巧，对得到的RH问题通过分解跳跃矩阵、形变积分路径
　　去除渐近单位矩阵的跳跃，将其化为可解的RH问题，由此获得原来问题的解.例如，NLS方程初值的解可用RH问题的解表示
　　其中RH问题为
　　.m(x，t，z)在C\R上解析，(1.1.5)
　　.m+(x，t，z)=m_(x，t，z)v(x，t，z)，z∈R，(1.1.6)
　　.m(x，t，z)→I，z→∞，(1.1.7)
　　这里v(x，t，z)为跳跃矩阵，重构公式(1.1.4)将求解NLS方程初值问题(1.1.2)—(1.1.3)转化为求解RH问题(1.1.5)—(1.1.7).
　　由于RH问题本身是复问题，因此RH方法的*大特点是将要解决的问题提升到复平面进行解决，这种思想实际已经在大学复变函数中使用，在数学分析中，由于很多函数的原函数不能用初等函数表示，因此无法直接套用Newton-Leibniz公式，使得求定积分很困难，例如.(1.1.8)但我们可以换一个角度解决问题，将积分化为复积分解决，因为解析函数与积分路径无关，既然实轴R上不容易积分，我们可以选择一个容易积分的路径实问题．
　　上述问题的解决实际体现了RH方法的两个步骤:①将实问题转化为复问题;
　　②对得到的复问题，利用复平面上解析函数与积分路径无关的性质，改变积分路径获得解决.
　　图1.1复平面积分路径
　　1.2RH方法在可积系统初值问题应用状况
　　通常一个非线性微分方程称作可积的，如果它可以表示为Lax对的相容条件.而Lax求解可积系统有三种经典的方法:反散射方法、RH方法和方法，其中RH方法和方法是现代版本的反散射方法，都属于散射理论，所以下面我们在反散射的框架下讨论这些方法的产生和发展.
　　1.2.1求解可积系统方面
　　1.快速衰减初值问题——反散射和局部RH方法
　　1967年，Gardner，Greene，Kruskal和Miura在研究KdV方程快速衰减的初值问题时，发现了一种求解非线性可积系统初值问题的反散射方法，这种方法也称为非线性Fourier变换，可以将求解微分方程快速衰减的初值问题转变为复平面上求解散射数据的GLM方程.实际上，在GGKM工作之前，苏联科学院院士、著名数学家Faddeev已经成功地求解了NLS算子的反问题.1968年，美国科学院院士Lax从GGKM的工作中意识到如果一个非线性偏微分方程可以表示为一对线性方程的相容性条件，则这个偏微分方程可以反散射求解，这个线性方程组通常称为Lax对，阐述了用反散射方法求解其他非线性偏微分方程的一般框架.1971年，苏联数学物理学家Zakharov和Shabat发现NLS方程的Lax对，并将反散射方法推广到NLS方程的初值问题[9].随后，1973年，Ablowitz用反散射方法求解了sine-Gordon方程;1974年，Ablowitz、Kaup、Newell、Segur用反散射方法求解了AKNS系统.目前已经发现一大类非线性方程的初值问题都可以用反散射方法解决.反散射方法的发现是孤子理论中的里程碑性工作，对数学和物理诸多领域产生了深远影响，确立了可积系统在数学领域的重要地位.经典反散射方法已经成为求解可积系统初值问题的成熟方法，国内外已有大量专著，但国内专著一般都没涉及RH方法和方法.
　　反散射方法向各类方程推广应用的同时，在方法上也做了不断改进和发展，1975年，Shabat首先用RH问题研究可积系统的谱问题，其实他和Zakharov在1972年的工作中已经很接近RH问题形式.之后，经过Zakharov和Shabat的系列工作，奠定了RH方法的理论以及在孤子理论中的重要地位，RH方法的思想是将求解微分方程的初值问题转化为寻找一个在给定曲线上具有特定跳跃形式解析函数的RH问题.20世纪80年代之后，RH方法作为比反散射更一般的方法开始应用于可积系统，这方面文献可见，RH方法一般在有些反散射专著中涉及一部分，除了杨建科的专著，还没见其他专门讲RH方法的专著.
　　2.周期初值问题——代数几何法
　　反散射方法出现以后，人们试图对这种方法进行推广，希望用于解决KdV方程的周期初值问题，Dubrovin和Novikov发展了反问题方法并建立了周期Sturm-Liouville算子的谱理论，使得在反问题方法框架下解决KdV方程的周期初值问题成为可能.Dubrovin和Novikov的结果以及周期Sturm-Liouville算子特征函数的解析性质则由Krichever以一种不同角度给出[35，36].在Krichever的方法中，Baker-Akhiezer函数起着关键的作用.不久，Krichever的方法被Novikov、Dubrovin、Matveev、Its、Moerbeke以不同的方式实现在KdV方程、sine-Gordon方程和其他Lax形式的方程中.继Lax，Dubrovin，Novikov，Matveev，Its，VanMoerbeke等的先驱性工作之后，代数几何法在成功地解决了可积系统反散射方法的周期初值问题，发现了微分方程与代数几何未曾预料到的深刻联系，从而引起了这两个学科的交叉发展，进一步巩固了可积系统在微分方程研究中的作用和地位.在可积系统理论中产生了许多新的结果，例如，20世纪80年代，Mumford发现KdV、KP、sine-Gordon等可积系统的解隐含在Riemanntheta的特殊公式——Fay三角正割公式中，从而提出了用Fay恒等式构造可积系统代数几何解的方法.基于Mumford方法，Klein用Fay恒等式和Rauch变分公式成功地构造Ernst方程的代数几何解.之后，Mumford的方法被Kalla用于研究Camassa-Holm方程.并且Kalla进一步将Fay恒等式推广成梯度形式，用于获得高维可积系统新的结果.20世纪90年代，基于谱分析和代数几何理论，美国数学家Gesztesy和挪威数学家Holden进一步发展了孤子方程族的代数几何解理论，采用一种有效的多项式递推方法，成功地将代数几何解从单个方程扩展到方程族，解决了整个方程族中所有方程代数几何解的构造.近年来，基于Deift，Its，Zhou的工作，RH方法被进一步发展，用于构造可积系统的代数几何解[49，50].代数几何解方面更多的工作可见文献.
　　3.高维系统——和非局部RH方法
　　1974年，为寻找新的可积系统和更广泛的精确解，Zakharov，Shabat发展了穿衣法，主要思想是将直线上积分算子分解为两个线性Volterra积分算子的乘积.一般地，穿衣(dressing)意指从一个系统的简单状态(bare，seed)到高级状态(dressed)变换的构造过程，两种状态之间的联系称为穿衣变换.特殊情况下，穿衣变换是一种纯代数构造，如方程解之间的Backlund变换，或者线性问题作用在解空间上的Darboux变换都属于穿衣变换.实际上，穿衣概念远比孤子自身应用广泛，如量子场理论、物理中的群论和代数方法也使用穿衣概念.1981年，作为对RH问题的推广，Beals、Coifman提出一种吸收ˉ.问题的更强有力的穿衣法，将求解微分方程初值问题转化为特定复区域上的ˉ.问题.作为RH问题的重要进展，Manakov进一步提出了非局部RH问题，由此解决了Kadomtsev-PetviashiliI(KPI)方程初值问题的反散射变换.非局部RH问题是解决2+1维方程和1+1维积微分方程的一个自然框架，在Davey-StewartsonI(DSI)和Benjiman-Ono等方程初值问题求解中也起重要作用.但与KPI，DSI相比，KPII和DSII的*大不同在于特征函数关于谱参数在复平面上有界但处处不解析，妨碍了用RH方法或者非局部RH问题求解.Ablowitz和Fokas首次应用ˉ.穿衣法解决了KPII和DSII的反散射问题，表明求解非线性方程的非局部衣法有两个版本，一个是利用Zakharov，Shabat提出的线性Volterra积分，另一个是Beals，Coifman和Manakov提出的复平面上的问题.穿衣法更多

目录　
《现代数学基础丛书》序　
前言　
第1章　绪论　1　
1.1　RH问题　1　
1.1.1　RH问题的产生和发展　1　
1.1.2　RH方法和思想　2　
1.2　RH方法在可积系统初值问题应用状况　3　
1.2.1　求解可积系统方面　4　
1.2.2　分析解的渐近性方面　7　
1.2.3　RH方法、反散射和方法比较　10　
1.3　在正交多项式和随机矩阵应用状况　10　
第2章　矩阵分析初步　12　
2.1　矩阵范数　12　
2.2　矩阵序列和级数　14　
2.3　矩阵的导数和积分　17　
2.4　张量积和外积　21　
2.5　矩阵特征值估计　24　
第3章　复分析和RH问题　26　
3.1　Jordan定理　26　
3.2　解析变换　27　
3.2.1　保域性　28　
3.2.2　保角性　29　
3.3　共形映射　31　
3.4　Cauchy积分定理和Painlevé开拓定理　35　
3.5　Cauchy主值积分和Plemelj公式　37　
3.5.1　Cauchy主值积分37　
3.5.2　Cauchy主值积分存在性　40　
3.5.3　Plemelj公式　41　
3.6　Laplace积分　44
3.7　*速下降法　45　
3.7.1　速降方向　45　
3.7.2　稳态相位点和速降线　47　
3.7.3　复积分的渐近估计与应用　49　
3.8　矩阵RH问题　50　
3.9　积分型Taylor公式　53　
第4章　广义函数及其应用　56　
4.1　广义函数的定义　56　
4.1.1　历史概述　56　
4.1.2　基本空间　57　
4.2　广义函数的性质　59　
4.2.1　广义函数方程　67　
第5章　RH方法求解零边界的NLS方程　69　
5.1　聚焦NLS方程　69　
5.1.1　特征函数　69　
5.1.2　渐近性　69　
5.2　解析性和对称性　71　
5.2.1　解析性　72　
5.2.2　对称性　75　
5.3　相关的RH问题　76　
5.3.1　规范化RH问题　76　
5.3.2　RH问题的可解性　78　
5.4　NLS方程的N孤子解　83　
5.4.1　矩阵向量解的时空演化　83　
5.4.2　N孤子解公式　84　
5.4.3　单孤子解　86　
第6章　RH方法求解非零边界的NLS方程　88　
6.1　非零边界问题　88
6.2　NLS方程的Lax对　89　
6.3　Riemann面和单值化坐标　91　
6.4　Jost函数的解析性、对称性和渐近性　94　
6.4.1　Jost函数　94　
6.4.2　μ±的依赖性　95　
6.4.3　μ±和S(z)的解析性　96　
6.4.4　μ±和S(z)的对称性　99　
6.4.5　μ±和S(z)的渐近性　101　
6.5　相关广义RH问题　102　
6.6　离散谱和留数条件　103　
6.7　RH问题的可解性　105　
6.7.1　重构公式　105　
6.7.2　迹公式和θ条件　106　
6.7.3　无反射势情况　107　
6.8　NLS方程的N孤子解　108　
6.9　带有非零边界的NLS方程的双重极点解　110　
6.9.1　双重极点的离散谱和留数条件　111　
6.9.2　双重极点下的RH问题和重构公式　113　
6.9.3　迹公式和相位差　115　
6.9.4　无反射势情况和双重极点解　117　
第7章　方法与可积系统　120　
7.1　问题　120　
7.1.1　问题的概念　120　
7.1.2　广义Cauchy积分定理　122　
7.1.3　广义Cauchy公式　123　
7.1.4　算子的Green函数　125　
7.1.5　求解问题　126　
7.1.6　问题与RH问题的联系　128　
7.2　ZS谱问题和NLS方程族　131　
7.2.1　问题和Lax对　131　
7.2.2　推导方程族　136　
7.2.3　构造孤子解　139　
7.2.4　谱问题的规范等价性　143　
7.3　WKI谱问题和mNLS方程族　145　
7.3.1　WKI谱问题　145
7.3.2　mNLS方程族　146　
7.3.3　孤子解　148　
7.3.4　规范等价性　149　
7.4　非局部问题和2+1维可积系统　150　
7.4.1　2+1维谱问题　150　
7.4.2　2+1维演化方程　153　
7.4.3　递推算子　155　
7.5　方法求解KPII方程　157　
7.5.1　特征函数和Green函数　157　
7.5.2　散射方程和问题　160　
7.5.3　反谱问题　162　
第8章　Deift-Zhou速降法分析NLS方程的渐近性　165　
8.1　散焦NLS方程的特征函数　165　
8.2　解析性和对称性　167　
8.3　相关RH问题　171　
8.4　稳态相位点和速降线172　
8.5　跳跃矩阵上下三角分解　174　
8.6　散射数据的有理逼近估计　177　
8.7　振荡RH问题到标准RH问题形变　181　
8.7.1　跳跃矩阵的解析延拓　181　
8.7.2　RH问题的有理逼近　185　
8.7.3　RH问题的尺度化　192　
8.7.4　去除RH问题的振荡因子　196　
8.7.5　对RH问题取极限　198　
8.8　预解算子的一致有界性　204　
8.9　标准RH问题　209　
8.10　求解标准RH问题　211　
8.10.1　Weber方程　211　
8.10.2　NLS方程初值问题解的渐近性　215　
第9章　速降法分析NLS方程在非孤子解区域中的渐近性　218　
9.1　散焦NLS方程的RH问题　218　
9.2　跳跃矩阵三角分解　221　
9.3　散射数据的连续延拓　224　
9.4　混合RH问题　227　
9.5　纯问题及其解的渐近性　231
9.6　散焦NLS方程的长时间渐近性　236　
附录　可解的矩阵RH问题　238　
第10章　速降法与NLS方程在孤子区域中的渐近性　243　
10.1　初值问题的适定性和解的整体存在性　243　
10.2　Lax对和谱分析　244　
10.3　聚焦NLS方程的RH问题　250　
10.4　跳跃矩阵三角分解　252　
10.5　跳跃矩阵的连续延拓　263　
10.6　混合RH问题及其分解　266　
10.6.1　混合RH问题　266　
10.6.2　混合RH问题分解　272　
10.7　纯RH问题及其渐近性　274　
10.7.1　外部孤子解区域　274　
10.7.2　内部非孤子解区域　286　
10.8　纯问题及其解的渐近性　293　
10.9　聚焦NLS方程的孤子解区域长时间渐近性　300　
附录　可解的矩阵RH问题　303　
第11章　正交多项式　308　
11.1　正交多项式基本概念　308　
11.2　正交多项式的性质　309　
11.2.1　三项递推公式　310　
11.2.2　Darboux-Christoffel公式　311　
11.2.3　Hankel行列式表示　313　
11.3　正交多项式与Jacobi矩阵　316　
11.3.1　正交多项式与Jacobi矩阵联系　316　
11.3.2　正交多项式零点分布　316　
11.4　正交多项式与RH问题联系　321　
11.5　多重正交多项式　327　
第12章　随机矩阵　329　
12.1　随机矩阵系综　329　
12.2.1　常见的系综　329　
12.2　特征值的联合概率密度　333　
12.3　随机矩阵与正交多项式联系　338　
12.3.1　关联核函数　338　
12.3.2　m点关联核函数　342
12.4　随机矩阵与RH问题联系　344　
12.5　间隙概率　344　
12.6　特征值的间距分布　349　
12.7　随机矩阵与Painlevé方程　350　
第13章　平衡测度　352　
13.1　变分法　352　
13.1.1　单重积分　353　
13.1.2　多未知函数　356　
13.1.3　多重积分　356　
13.1.4　条件极值　357　
13.2　平衡测度的定义和存在性　358　
13.2.1　平衡测度的定义　358　
13.2.2　平衡测度的存在性　360　
13.3　计算平衡测度　361　
13.3.1　第一种方法　361　
13.3.2　第二种方法　366　
第14章　特殊函数与RH问题　371　
14.1　Airy函数　371　
14.1.1　定义和性质　371　
14.1.2　渐近性　372　
14.1.3　Stokes现象　375　
14.1.4　RH问题刻画　377　
14.2　Bessel函数　379　
14.2.1　定义和性质　379　
14.2.2　RH问题刻画　381　
14.3　Painlevé方程　383　
14.3.1　Painlevé性质　383　
14.3.2　PainlevéII方程RH问题刻画　384　
第15章　正交多项式的RH方法　386　
15.1　正交多项式的RH问题刻画　386　
15.2　规范化RH问题　387　
15.3　标准RH问题　390　
15.3.1　跳跃矩阵分解　390　
15.3.2　形变跳跃路径　394　
15.3.3　取极限　397
15.4　求解标准RH问题　398　
15.5　标准RH问题解的逼近　400　
15.5.1　一般理论　400　
15.5.2　具体应用　405　
15.6　RH问题参数化构造　406　
15.6.1　局部参数化　406　
15.6.2　整体参数化　417　
15.7　正交多项式的一致渐近性　418　
15.7.1　实轴Imz=0之外　418　
15.7.2　实轴Imz=0上　420　
15.8　随机矩阵统计量的普适性　425　
15.8.1　关联核的普适性　426　
15.8.2　Fredholm行列式的普适性　429　
15.8.3　m点关联核函数的普适性　430　
15.8.4　Ps的渐近性　432　
参考文献　437　
后记　449