第1章 基础知识
　　本章给出的是正规族理论的基础知识， 主要介绍复变函数列的一致收敛性定义以及一致收敛函数列的性质， 引入亚纯函数正规族概念以及证明Marty定则. 1.1 全纯函数列的一致收敛
　　我们先讨论映复平面C上区域D C到复平面C的复变量函数形成的函数列. 由于复平面C上有自然的欧氏度量， 因此收敛性也就自然地在欧氏度量下来考虑.
　　1.1.1 欧氏距离及复数列的收敛性
　　复平面上任一点 (复数) z可唯一地表示为， 这里x， y为实数， 为虚数单位. 因此可自然地定义复平面C上任意两点和之间的距离为实平面R2 上两点 (x1， y1) 和 (x2， y2) 之间的欧氏距离， 即复数差 的模
　　定义 1.1.1 对复平面C上复数列， 如果存在复数使得对任何ε > 0， 存在正整数N使得当n > N时有， 则称复数列fzng收敛 (于a)， 同时数a称为复数列的极限， 记作.
　　由此定义， 不难看出收敛复数列的极限是唯一的， 并且复数列 收敛当且仅当两实数列和 都收敛. 因此借助实数列的Cauchy收敛准则， 就容易得到如下判别复数列是否收敛的Cauchy准则. 定理 1.1.1 复数列收敛当且仅当对任何 ε > 0， 存在正整数N使得当m， n > N时有.
　　1.1.2 函数列的一致收敛和内闭一致收敛
　　设数集以及设是一列复变量函数. 我们称函数列于E收敛， 如果对任何给定的z 2 E， 相应的函数值形成的数列都是收敛的. 设每个函数值列的极限为f(z)， 则由对应定义的函数称为收敛函数列的极限函数. 显然， 收敛函数列的极限函数是唯一的.
　　我们着重关注的是所谓的一致收敛性.
　　定义 1.1.2 对一列函数， 如果存在函数使得对任何 ε > 0， 存在正整数N使得当n > N时对任何z 2 E有
　　那么我们称函数列于数集E一致收敛 (于函数f).
　　根据数列收敛的Cauchy准则 (定理 1.1.1)， 可得判断函数列一致收敛的Cauchy准则.
　　定理 1.1.2 函数列于E一致收敛的充要条件为: 对任何ε > 0， 存在正整数N使得当n， m > N时对任何z 2 E有
　　证明 必要性由定义 1.1.2 立得. 下证充分性. 首先， 由数列收敛的Cauchy准则 (定理 1.1.1)， 函数列于E收敛， 设极限函数为f(z). 现在在条件中固定n， 而让就知， 对任何 ε > 0， 存在正整数N使得当n > N时对任何z 2 E有. 于是由定义 1.1.2 知于E一致收敛于函数f.
　　下面我们定义函数列的内闭一致收敛性， 此时函数列通常定义在某个开集或区域上.
　　定义 1.1.3 设是一列函数， 如果对区域D的任一有界闭子集E， 函数列于E一致收敛， 则称函数列于区域D内闭一致收敛. 显然， 如果函数列于区域D内闭一致收敛， 则极限函数f也于D有定义. 我们用
　　来表示函数列于区域D内闭一致收敛于函数. 在不引起混淆的情况下， 也常简记为
　　为了以后的方便， 我们引入函数列在一点处一致收敛的概念.
　　定义 1.1.4 设是一列函数， 为内一点. 我们称在z0 处一致收敛， 如果存在的某个闭邻域使得一致收敛.
　　根据Heine-Borel有限覆盖定理， 我们不难得到
　　定理 1.1.3 函数列于区域D内闭一致收敛当且仅当函数列在D内每点处一致收敛.
　　证明 条件的必要性显然. 下证充分性. 设E D为一有界闭集. 根据条件， 对任何w 2 E，于点w的某个闭邻域一致收敛， 即对任何 ε > 0， 存在某个使得当时对任何有
　　因E是有界闭集， 由有限覆盖定理知， E的开覆盖 中存在有限开覆盖. 于是若取则当m， n > N时对任何有. 此即证明内闭一致收敛.
　　1.1.3 内闭一致收敛连续函数列的性质
　　一致收敛函数列的极限函数能传承函数列的好性质， 例如连续性、全纯性等. 但是存在一致收敛的函数列， 其极限函数连续而函数列本身不连续. 因此， 一致收敛一般而言不传承 “坏” 性质.
　　定理 1.1.4 如果连续函数列于区域D内闭一致收敛， 则极限函数f也于区域D连续.
　　证明 设z0 2 D为任一点， 则存在正数 δ0 使得. 根据条件， 函数列于 Δ(z0， δ0) 一致收敛于f. 于是， 对任何正数 ε， 存在正整数N使得当n > N时对任何z 2 Δ(z0， δ0) 有
　　又由于fN+1 在z0 处连续， 故存在正数 δ < δ0 使得当z 2 Δ(z0， δ) 时有
　　于是， 当时有
　　这就证明了极限函数f于点z0 连续.
　　根据定理 1.1.4， 利用连续函数在有界闭集上的有界性和一致收敛的定义， 立即可得如下两个推论.
　　定理 1.1.5 如果连续函数列 于区域D内闭一致收敛， 则函数列于区域D内闭一致有界， 即对任何有界闭集E D， 存在正数M使得对任何z 2 E， 每个fn都满足.
　　定理 1.1.6 如果两连续函数列和 于D分别内闭一致收敛于f和g， 则函数列 和于D都内闭一致收敛， 分别收敛于 和fg， 这里a， b为常数. 又若进一步有g 6= 0， 则函数列于D也内闭一致收敛于f/g.
　　1.1.4 内闭一致收敛全纯函数列的性质
　　定理 1.1.4 表明一致收敛连续函数列的极限函数也连续. 本节要说明对一致收敛的全纯函数列， 其极限函数具有更好的性质. 这就是如下的Weierstrass定理. 定理 1.1.7 如果全纯函数列于区域D内闭一致收敛， 则极限函数f也在区域D上全纯， 并且对任何正整数k， 其k阶导函数列n g也于D内闭一致收敛于f(k).
　　证明 设z0 2 D为任一点， 则存在正数 δ0 使得 Δ(z0， δ0) D. 由于内闭一致收敛于f， 因此对任何正数 ε， 存在正整数N使得当n > N时对任何z 2 Δ(z0， δ0) 有. 另外， 由定理 1.1.4 知， 极限函数f于区域D连续.
　　现在定义函数
　　dζ， z 2 Δ(z0， δ0).
　　由于f于区域D连续， 用定义可验证F在 Δ(z0， δ0) 全纯， 并且对k 2 N有
　　由于fn是全纯的， 因此由Cauchy公式有
　　于是对时有
　　这表明对函数列ff(k)ng于Δ(z0， δ0/2) 一致收敛于F(k). 特别地， 对k = 0 得到于 Δ(z0， δ0/2) 一致收敛于F. 极限函数的唯一性就保证了在Δ(z0， δ0/2) 上有f(z) = F(z)， 因而f在 Δ(z0， δ0/2) 是全纯的， 并且于Δ(z0， δ0/2) 一致收敛于F(k) = f(k).
　　*后， 由z0 的任意性和定理 1.1.3， 定理 1.1.7 得证.

目录
前言
第1章 基础知识 1
1.1 全纯函数列的一致收敛. 1
1.1.1 欧氏距离及复数列的收敛性 1
1.1.2 函数列的一致收敛和内闭一致收敛 1
1.1.3 内闭一致收敛连续函数列的性质 3
1.1.4 内闭一致收敛全纯函数列的性质 4
1.1.5 函数列的一致紧发散 5
1.2 亚纯函数列的一致收敛. 5
1.2.1 球面距离 6
1.2.2 球面距离意义下数列的收敛性 7
1.2.3 球面距离意义下函数列一致收敛的定义及 Cauchy 准则 7
1.2.4 按球面距离一致收敛连续函数列的性质. 8
1.2.5 按球面距离一致收敛亚纯函数列的性质 11
1.2.6 一个注记 16
1.3 亚纯函数正规族的基本概念 17
1.3.1 定义及基本性质 17
1.3.2 等度连续函数族 18
1.3.3 内闭一致有界函数族与 Montel 定则 19
1.3.4 球面导数与 Marty 定则 20
第2章 亚纯函数值分布理论简介 23
2.1 Poisson-Jensen 公式 23
2.2 Nevanlinna 特征函数 26
2.3 Ahlfors-Shimizu 特征函数 28
2.4 Nevanlinna 基本定理 31
2.5 对数导数引理. 35
2.6 Milloux 不等式与 Hayman 不等式 48
第3章 Bloch 原理 54
3.1 Zalcman 引理与 Zalcman 定则 54
3.1.1 Zalcman 引理 54
3.1.2 Zalcman 定则 56
3.1.3 顾永兴定则的简化证明 57
3.2 Zalcman 引理的推广. 61
3.3 Bloch 原理的反例 69
第4章 Ahlfors 定理和 Bergweiler-Eremenko 定理 70
4.1 Picard 定理、Nevanlinna 重值定理和 Ahlfors 五岛定理 70
4.1.1 Picard 定理和 Ahlfors 三岛定理 70
4.1.2 Nevanlinna 五重值定理和 Ahlfors 五岛定理 71
4.1.3 Nevanlinna 重值定理和 Ahlfors 岛屿定理 72
4.1.4 类多项式的 Ahlfors 定理 73
4.2 有理函数的若干性质 74
4.3 有界型超越亚纯函数的一个性质 79
4.4 Bergweiler-Eremenko 定理 81
4.5 Hayman 定理的推广 (I). 86
4.6 Hayman 定理的推广 (II). 89
第5章 Hayman 猜想的涉及重值的推广 93
5.1 Hayman 猜想. 93
5.2 Hayman 猜想的推广: 函数具有重值. 93
5.3 Hayman 猜想的推广: 导数具有非零重值 95
5.4 Hayman 猜想的推广: 导数 1 值点离散分布. 98
5.4.1 引理. 99
5.4.2 定理 5.4.1 的证明 102
第6章 正规族与例外函数或重函数 103
6.1 若干辅助引理 103
6.2 Montel 定则的推广: 例外函数 106
6.3 Montel 定则的推广: 重值与重函数 110
6.4 顾永兴定则的推广 (I). 112
6.5 顾永兴定则的推广 (II) 117
6.5.1 关于有理函数的一个引理 119
6.5.2 例外函数具有零点的正规族 129
6.5.3 例外函数具有极点的正规族 140
第7章 正规族与分担值或分担函数 149
7.1 与导函数具有分担值的正规族. 149
7.1.1 Schwick 定理及相关结果 149
7.1.2 与导数分担一个三元数集的正规族 153
7.1.3 与导数分担一个二元数集的正规族 155
7.2 函数与导数、导数与导数具有分担值 161
7.2.1 函数与导数、导数与导数的分担值相同 161
7.2.2 若干引理. 162
7.2.3 定理 7.2.4—定理 7.2.6 的证明. 177
7.2.4 函数与导数、导数与导数的分担值相异 178
7.3 同族函数具有分担值. 181
7.4 异族函数具有分担值. 183
7.5 涉及分担函数的正规族 193
第8章 亚纯函数拟正规族 203
8.1 基本概念与基本性质. 203
8.2 Montel 拟正规定则 205
8.3 涉及导数的拟正规定则 206
8.3.1 若干引理. 207
8.3.2 定理 8.3.2 的证明 217
8.4 涉及对数导数的正规与拟正规定则 220
8.4.1 定理 8.4.3 的证明 223
8.4.2 定理 8.4.4 的证明 228
第9章 正规族与迭代函数不动点 236
9.1 与迭代函数不动点相关的全纯函数正规族 236
9.1.1 杨乐问题的解答 236
9.1.2 没有周期点的全纯函数族的正规性与拟正规性 239
9.1.3 没有排斥周期点的全纯函数族的正规性与拟正规性 242
9.2 与迭代函数不动点相关的亚纯函数正规族 246
9.3 与迭代函数排斥不动点相关的亚纯函数正规族. 249
9.3.1 定理 9.3.1 的证明 249
9.3.2 问题 9.3.1 的进一步研究 255
第10章 共形度量与广义正规族 257
10.1 基础知识 257
10.1.1 距离空间基础知识 257
10.1.2 共形半度量与度量 258
10.2 连续函数空间 C[Δ， Ω] 260
10.2.1 C[Δ， Ω] 上的度量. 260
10.2.2 相对紧性和 Arzel&agrave;-Ascoli 定理 262
10.2.3 相对紧的 M.bius 映照族 263
10.3 一致 Lipschitz 函数族 266
10.3.1 一致 Lipschitz 条件 266
10.3.2 Lipschitz 函数族的相对紧性 269
10.4 正规族定义的推广 270
10.4.1 相对于大配域的 Lipschitz 条件. 271
10.4.2 正规族定义的推广 274
10.4.3 Escher 条件 275
10.4.4 Lipschitz 映照正规族 276
10.4.5 注记 278
第11章 正规族理论的应用 279
11.1 在复解析动力系统中的应用 279
11.2 在复微分方程中的应用 281
11.3 在亚纯函数模分布中的应用 283
11.4 在整函数与亚纯函数唯一性中的应用. 284
11.4.1 在整函数唯一性中的应用 284
11.4.2 在亚纯函数唯一性中的应用 290
第12章 球面密度与 Marty 型常数. 296
12.1 Montel 定则对应的 Marty 型常数 296
12.1.1 球面密度. 296
12.1.2 球面反射原理 299
12.1.3 球面密度的整体*小值 300
12.1.4 Marty 常数 M0 的值 303
12.2 顾永兴定则对应的 Marty 型常数 305
参考文献 306
人名索引 315
名词索引 316