第10章输运方程及其数值离散
10.0概述
第4～9章建立了半导体太阳电池所服从的输运模型，假设器件几何区域为，边界为30，产生了一系列相互耦合的二阶偏微分方程组，这些方程都具有类似的形式（包括Poisso方程和晶格热传导方程)，下面用一个统一的形式表示：
(10.0.1)
式中，R小和分别表示流、产生、复合和带内弛豫或谷间散射的项。
下面我们关心的是，如果要对它们进行数值求解，需要做什么样的准备，需要借助什么方法，这涉及一些基本数学知识。对于半导体太阳电池，鉴于已经制备大量器件并成功测得光电效率，其存在物理意义上的解毋庸置疑，这样就省去了需要分析所建立的物理模型是否存在实际解这一烦琐步骤。从数值模拟的角度来说，我们所关心的是从这些物理模型上能否得到一些有用的信息，使得数值分析可行甚至更简洁高效。
输运方程的数值求解流程是，先将器件几何区域划分成若干凸多面体小区域(其集合称为网格G，凸小多面体称为单元e，顶点称为格点g)，用某种数学特性的函数逼近小区域上的解，以凸多面体顶点值为变量，类似插值的方式链接整个器件区域网格，*终计算全部顶点离散值得到所谓的近似离散解。这种情形下，输运方程自身的真实连续解wOr)与网格G上的离散近似解之间存在一定的误差。我们*关心的是离散近似解是否能够在某种程度上代表连续解，即当网格单元的尺寸无穷减小时，离散近似解是否会收敛到网格点处几何位置的真实连续解，如果是，则称这种小区域上的数值逼近是收敛的：
(10.0.2)
式中，表示网格单元中*大的两点距离，通常称为直径。
综上所述，对输运方程的认识至少应该包括如下几个方面。
方程或方程组的基本特征。
方程基本特征包括方程的归类、各部分系数的数学特征（对于我们更重要的是要结合其实际物理意义)、边界条件等，这直接决定了所需要采用的离散格式、初始值、迭代映射的建立，以及迭代映射稳定性（会不会产生奇异）等问题。
解的基本特征或结构。
解在特定区域的组成、解的极值范围等。解在特定区域的构成可以使我们尽可能地构造离真实解*近的数值近似解，以*大可能地减少迭代次数或者加速收敛的步伐。解的极值估计可以帮助我们提前预测数值过程中解的范围，从而避免出现数值的上溢或者下溢，提高*终计算结果的有效位数。
解的唯一性。
尽管物理结果表明确实存在实际解，然而并不能确定是唯一的解，或者否定其他解存在的可能性。如果存在多个解，会对数值模拟产生极大的障碍，因为无法保证计算机上得到的结果是实际的结果。
因此，数值方法必须针对半导体器件方程的特征产生，而这往往来自于对解的数学分析，甚至如果没有数学分析，就不能建立有效的数值方法。基本数学认识结论对实际数值方法的指导意义可以分为两个方面：①这些结论是选择数值方法和确保其成功的前提；②导出结论的前提能够有效指导排除数值方法中的问题。
10.1输运方程体系
本节将简要回顾总结输运方程体系的基本数学特征。
10.1.1偏微分方程组
这里把第4-9章中的输运方程整理成表10.1.1。
连续性方程中所体现的G和涵盖第1章、第6章和第7章中的碰撞离化、光学产生速率，第1章、第4章、第5章和第9章中的自发辐射复合、SRH(Shockley-Read-Hall)复合、俄歇（Auger)复合、碰撞离化、量子限制、各种缺陷和量子隧穿所引起的复合等。
表10.1.1中第2列和第3列的方程具有如下几个特点。
(1)都含有时间一阶导数项与空间二阶导数项的耦合的偏微分方程组，时间导数项与空间导数项相互独立，不存在耦合。热传导方程与Poisson方程的散度形式的空间二阶导数项不与其他变量耦合，而电流/能流方程则集合了几个变量二阶导数项的耦合，如（4.5.7.1)定义的电流密度，在迁移率与带边态密度为常数的情况下，其散度为
(10.1.1.1)
(10.1.1.1)中的第2个等号右边第1项含有Ve和fcBre的二阶导数，以及两者一阶导数的乘积耦合，第2项含有关于静电势的二阶导数，以及Tk与静电势一阶导数耦合的乘积。
(2)电子与空穴的连续性方程以及流密度具有很好的替换原则，如电子（空K)电流密度和能流密度/电流连续性方程之间分别建立变换：
(10.1.1.2a)
其中，是静电作用下的能量，包含了静电势的影响。
能流方程则完全具有相同的形式，这种良好的替换原则使得在编程实施时仅需要编写针对一种极性的载流子的子程序，另外一种借助变换可以直接取得，即使是准平衡下的载流子分布函数也可以通过类似变换得到
(10.1.1.2c)
(3)流密度的系数中至多只含有各种物理参数的连续函数，例如，迁移率要么是常数，要么是掺杂浓度与温度的有理多项式的形式；热导率是载流子浓度的线性函数（4.5.7.3);5e(h)仅是相应物理量的非线性函数。
(4)产生复合项中*多含有相应物理量的一阶导数，如光学产生速率空间相关的常数项（忽略载流子占据效应引起的系数的轻微变化)，自发辖射复合及光子自循环效应、SRH复合、Auger复合、谷间弛豫和散射是载流子浓度的非线性函数，只有离化系数含有物理量的一阶导数（(1.2.7.1a)，通过电流密度隐含)。
(5)时间项里*多含有一阶导数，而在稳态情况下，各个方程表现为统一的散度形式：
(10.1.1.3a)
(10.1.1.3b)
(10.1.1.3c)
(10.1.1.3d)
(10.1.1.3e)
(10.1.1.3f)
这种散度形式为方程特性分析与数值离散都提供了很大的便利。
10.1.2边界条件
边界分成几何边界与物理边界，几何边界指的是器件区域边界，物理边界是按照材料特性是否一致而划分的，按照前面所建立的模型，这里的区域是功能层。现在的太阳电池都涉及多层材料，除了两端的接触电极与裸露表面外，每个功能层材料之间可以看作存在适当的边界条件，并且相互连接起来，因此，这里明确f?和df2是单个功能层区域及其边界。
根据第1章、第8章与第9章中的物理模型，太阳电池物理模型所建立的边界主要有三种：金属半导体接触、氧化物钝化/裸露表面、同质/异质界面。
1.金属半导体接触
根据第1章与第8章中的描述，金属半导体接触分成欧姆（Ohmic)接触与肖特基(Schottky)接触两种。
1)Ohmic接触
对于Ohmic接触，载流子在此处满足电荷中性条件，即边界处的载流子浓度永远等于热平衡时的载流子浓度，边界上的所有物理量具有固定值（静电势等于热平衡的值与所施加电压的差（或和，取决于所施加偏压的方向)，电子和空穴准Fernii能级相等且等于金属Fermi能级，即所施加的电压、电子与空穴系综的特征温度、晶格温度都等于金属温度)，数学上把这种边界条件称为狄利克雷(Dirichlet)边界条件：
(10.1.2.1a)
(10.1.2.1b)
(10.1.2.1C)
(10.1.2.Id)
2)Schottky接触
相较于Ohmic接触而言，载流子依然满足电荷中性条件，除了静电势具有固定值外（(10.1.2.1a))，电子与空穴系综准Fermi能级与特征温度不具有固定的数值，但满足某种连续性边界条件[21，晶格温度则与额外热阻相关，如图8.3.2(b)所示的接触，电子系综在热离子发射模型下具有如下的边界条件：
(10.1.2.2a)
(10.1.2.2b)
(10.1.2.2c)
(10.1.2.2d)
(10.1.2.2a)～(10.1.2.2d)加上相应的空穴系综的对应部分就组成了完备的边界条件，但对于太阳电池而言，除高倍聚光情形外，Schottky接触边界条件基本不采用如（10.1.2.2a)～(10.1.2.2d)，而是假设金属/半导体之间的能量交换很快，电子/空穴系综的特征温度直接为金属温度。
另外，量子隧穿使得Scliottky接触处的特性拓展到半导体内能够产生不可忽略的隧穿的位置，如（8.3.2.3a)所示。
2.氧化物钝化/裸露表面
对于半导体/氧化物边界，静电势与晶格温度在氧化物法线上的变化量为0，电子和空穴准Fermi势没有什么确定的直接表达式，但可以与表面复合电流联系起来：
静电势边界条件只与法向矢量的梯度有关系，称为诺伊曼（Neumaim)边界条件。而表面复合电流条件是电子和空穴准Fermi势的非线性函数，称为第三类边界条件，实际上第三类边界条件还可以是包含变量导数的非线性函数。
对于Schottky接触，即存在势垒的金属半导体接触，由于两端能带位置被Schottky势垒所固定，静电势是确定的，这时泊松（Poisson)方程是Dirichlet边界条件，而电子与空穴是满足表面复合的第三类边界条件。
3.同质/异质界面
由于同质界面是异质界面的简化，这里我们仅列举异质界面边界条件。根据第1章和第8章中的结论，如果不考虑界面偶极矩的影响，静电势在界面处连续，通常界面偶极矩的影响也被归于界面带阶。如果异质界面上还存在电荷，那么有界面条件：
(10.1.2.3a)
(10.1.2.3b)
(10.1.2.3c)
(10.1.2.3d)
(10.1.2.4a)
(10.1.2.4b)
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