第1章 积分论大意
本章将概要介绍经典积分论的内容， 包括测度、可测函数、积分、重积分、Radon-Nikodym 定理等， 这些是构建积分论的基本框架. 本章借鉴了文献 [3] 的第一章， 详细内容建议读者参看 [1]—[5] 等.
本书中， 将用到以下的符号和约定:
N 表示正整数集， Q 表示有理数集， R = ( 1，1) 表示实数集 (R+ 表示非负实数集)， 称为广义实数 (非负) 集. 对于
1.1 测度与可测函数
1.1.1 测度
记 ？ 为空集. 给定任一非空集合 X， 称其所有子集构成的集合为 X 的幂集，记为 2X 或 P(X).
称非空集族为 σ-代数， 若满足：
(1)
(2)
(3)
显然， 若 Σ 是 σ-代数， 则其关于集合的并、交、差、补 (不超过可数次) 运算封闭.
称二元组 (X， Σ) 为可测空间.
定义 1.1.1 给定可测空间 (X， Σ). 若集函数 m : Σ → [0，1] 满足下列条件，则称为测度.
(1)
(2) (可列可加性)
其中
特别地，
若 m(X) = 1， 则称 m 为概率， 通常记为 P;
若 m(X) < ∞， 则称其为有限测度;
若存在，An↑X 且 m(An) < ∞， n ≥1， 则称 m 为 σ-有限测度.
称三元组 (X，Σ，m) 为测度空间 (或由 m 的有限、σ-有限称其为有限测度空间、σ-有限测度空间).
定义 1.1.2 给定测度 m : Σ → [0， ∞]. 若 A ∈Σ， 且 m(A) = 0， 则称A 为 m-零集. 若所有 m-零集的子集都属于 Σ， 则称 m 为 Σ 上的完备测度， 称(X，Σ，m) 为完备测度空间.
定义 1.1.3 给定测度空间 (X，Σ，m)， 记. 若存在测度满足m(A) = m(A)，A ∈ Σ， 则称ˉm 是 m 的完备化测度， (X， ˉΣ， ˉm) 是 (X，Σ，m) 的完备化测度空间.
性质 1.1.4 测度 m 具有下列性质：
(1) (单调性);
(2) (有限可加性);
(3) (下半连续性);
(4) (上半连续性).
例 1.1.5 记 R = (-∞， ∞) 是实数集， Rn = R × R× × R(n 个)， 定义欧氏距离
这里 x = (x1， x2， ， xn)， y = (y1， y2， ， yn) ∈ Rn.
称包含 Rn 的所有开集的*小 σ-代数为 Borel 域， 记为 B(Rn)， 称其中的元素为 Borel 可测集.
记 In = [a1， b1] ×[a2， b2] × ×[an， bn]， In 被称为 n 维闭区间. 类似地， 可以定义 n 维开、半开区间. 定义区间体积为
则由 λ 扩张到 B(Rn) 所得到的测度称为 Borel 测度， 称 (Rn，B(Rn)， λ) 为 Borel测度空间， 称其完备化空间为 Lebesgue 测度空间， 记为 (Rn，L(Rn)， λ)， 称 λ 为Lebesgue 测度.
Lebesgue 测度是长度、面积、体积的推广.
例 1.1.6 给定 Lebesgue 测度空间 (R，L(R)， λ). 设 α : [0，1] ! [0，1] 是单调递增右连续函数， 满足 α(0) = 0(称为分布函数). 由
生成的 L(R) 上的测度， 称为 Lebesgue-Stieltjes 测度.
1.1.2 可测函数
给定可测空间 (X， Σ)， 记 R= [-∞， ∞].
定义 1.1.7 函数 f : X → R称为 Σ-可测 (简记为可测) 的， 若对， 均有 (f≥t) = {x ∈ X : f(x) ≥t} ∈ Σ.
性质 1.1.8 函数 f : X → R为可测的当且仅当下列条件之一成立：
(1) 对 t ∈ R， 均有 (f > t) = {x ∈ X : f(x) > t} ∈ Σ;
(2) 对 t ∈ R， 均有 (f ≤ t) = {x ∈ X : f(x) ≤t} ∈ Σ;
(3) 对 t ∈ R， 均有 (f < t) = {x ∈ X : f(x) < t} ∈ Σ.
性质 1.1.9 函数 f : X → R 为可测的当且仅当下列条件之一成立：
(1) 对任意开集 G R， 均有;
(2) 对任意闭集 F R， 均有;
(3) 对任意 Borel 集 B B(R)， 均有.
定理 1.1.10 设 f， g 是可测函数， 则
均为可测函数.
定理 1.1.11 设 {fn} 是可测函数列， 且 fn → f， 则 f 是可测的.
定理 1.1.12 设 {fn} 是可测函数列， 则是可测函数.
例 1.1.13 设 A ∈ Σ， 定义 A 的特征函数为
则 χA 是可测的.
例 1.1.14 设， 其中，
则 s 是可测的， 且称为简单函数.
例 1.1.15 若函数 f : R → R 是连续的， 则 f 是 B(R)-可测的.
给定 f : X → R， 记
则.
定理 1.1.16 函数 f 是可测的当且仅当 f-， f+ 是可测的.
定理 1.1.17 函数 f : X → R是可测的当且仅当存在简单函数列 {sn}， 满足， 且 sn → f.进一步：
(1) 若 f 是有界的， 则 sn → f 是一致的;
(2) 若 f 是非负的， 则 sn ↑ f.
证明 只证 f 是非负的情形. 设， 取函数，易知 sn ↑ f.
1.2 积分
1.2.1 定义、性质与收敛定理
给定测度空间 (X，Σ，m).
定义 1.2.1 (1) 设是非负简单函数， 则其积分为;
(2) 设 f : X → [0，1] 是非负可测函数， 则其积分为
(3) 设 f : X →[-∞， ∞] 是可测函数， 则其积分定义为.
当时， 称 f 在 A 上关于 m 可积;
当或 -∞时， 称 f 在 X 上关于 m 积分存在.
通常符号简记为.
注 1.2.2 (1) 在概率空间 (X，Σ， P) 上， 通常称可测函数 f 为随机变量， 其积分通常称为均值， 记为 E(f).
(2) 关于 “几乎处处”(a.e.): 设在给定测度空间 (X，Σ，m) 上一个与 x ∈ A ∈ Σ有关的命题 P(x). 若存在 N ∈ Σ， 使得 P(x) 在 A - N 上成立， 且 P(N) = 0， 则称 P(x) 在 A 上几乎处处成立， 记为 P(x)m-a.e.(或 a.e.) 于 A.
基于此， 我们有 “a.e. 有限， a.e. 相等， a.e. 收敛” 等概念.
性质 1.2.3 可积函数的积分具有下列性质：
定理 1.2.4(单调递增收敛定理) 设 {fn} 是非负可测函数列， 则
推论 1.2.5(Fatou 引理) 设 {fn} 是非负可测函数列， 则
定理 1.2.6(控制收敛定理) 设 {fn} 是可测函数列， 且 fn → f. 若存在非负可积函数 g， 使得对任意 n ≥ 1， 均有， 则.
1.2.2 Fubini 定理
设 (X，Σ， μ) 与 (Y， Γ， ν) 是 σ-有限测度空间. 令 Σ×Γ = σ({A×B : A ∈Σ，B ∈ Γ}) 且记 μ×ν 是其上的乘积测度， 称 (X ×Y，Σ×Γ， μ×ν) 为乘积空间.
定理 1.2.7(Fubini 定理) 设 f : X×Y → [0，∞] 是可测函数， 则
(1) fy(x) = f(x， y)， y ∈ Y， a.e. 是 Σ-可测函数;
(2)是 Γ-可测函数;
(3).
(1)—(3) 中的 x 与 y 的地位是同等的.
由 Fubini 定理可以得到积分转化定理.
定理 1.2.8(积分转化定理) 设 f : X → [0， ∞] 是可测函数， 则，这里 λ 是 Lebesgue 测度.
1.2.3 Radon-Nikodym 定理
设 μ， ν 是 (X， Σ) 上的测度. 若 μ(A) = 0 ν(A) = 0， 则称 ν 关于 μ 绝对连续， 记为 ν＜＜μ.
定理 1.2.9(Radon-Nikodym 定理) 设 μ， ν 是 (X， Σ) 上的 σ-有限测度， 则下列陈述等价：
(1) ν＜＜μ;
(2) 存在可测函数 f : X → [0， ∞]， 使得， 对一切 A ∈Σ 成立.
参考文献
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