第1章 绪论
1.1 层流与湍流
自然界中的流动一般可分为两种流态：层流（laminar flow）和湍流（turbulent flow）。在其他条件一定时，如果当流速很小，流体分层流动，互不混合，称为层流；逐渐增大流速，流体的流线开始出现波浪状的摆动，摆动的频率及振幅随流速的增大而增大，直至瞬时流线不再清楚可辨，流场中出现许多不同尺度的涡旋，在流场中某一固定点测量流动参量（如流速）时，参量会出现随机的变化，这种流态称为湍流，又称为紊流。
从层流到湍流的变化可以用雷诺数来量化：
（1.1）
式中，p为流体密度；U为流动的特征速度；L为流动的特征尺度；为流体的黏性系数。
雷诺数的物理意义是惯性力与黏性力之比。当流动中出现小扰动时，惯性驱使初始扰动持续影响后续流动，而黏性力则能抑制扰动的发展。雷诺数较小时，黏性力起决定作用，流场中流速的小扰动会因相对较强的黏性力抑制作用而衰减，流动稳定，为层流。当雷诺数较大时，惯性力对流场的影响大于黏性力，流速的微小扰动容易发展、增强，*终形成紊乱、不规则的湍流。
流态转变时的雷诺数称为临界雷诺数。一般临界雷诺数都在数千的量级。自然界中流动的数值常常远大于临界雷诺数。例如，设一小溪的水深为10cm，流速为20cm/s，则其雷诺数为2×104，长江航道中水深在10m左右，流速在2m/s左右，则其雷诺数为2×107，两个雷诺数均远大于临界雷诺数。因此，自然界以及工程应用中的大多数流动均是湍流。
理解湍流的物理机制对我们认识自然中的流动现象、进行安全可靠高效的工程设计等至关重要。湍流内部的动量、热和质量输运与层流均有显著不同。*易观察到的现象是湍流中各种参量的随机脉动（fluctuation）。例如，曾经发现大洪水之后岷江中成吨的巨石越过都江堰的飞沙堰向下游输移。实际上，大洪水期间弯道内的平均床面剪切力根本不足以起动河床上如此巨大的石块，理解这一现象的关键在于洪水期河道中流态湍动剧烈，床面剪切力存在大幅的随机脉动，因此会以一定的概率发生瞬时剪切力远大于平均剪切力的极端事件，足以起动成吨的巨石。
现代湍流研究主要集中在机械与航空航天、大气与海洋环境等领域。经典的壁面湍流（wall-bounded turbulence）研究也主要集中在边界层（boundary layer）、管流（pipe flow）和封闭槽道流（channel flow）等经典流态上。明渠湍流的研究开始较晚，大约从20世纪70年代开始，随着热线风速仪和氢气泡示踪技术的发展，明渠湍流的研究才真正系统地开展起来。20世纪80年代，激光多普勒测速计的使用使研究者首次获得了可靠的明渠湍流标准数据，进而开始了对明渠湍流各种现象以及物理机制的研究。
由于湍流本身的复杂性，湍流研究主要是采用数据分析方法分析实验数据以揭示湍流的机理。本书主要介绍明渠湍流研究中常用的数据分析方法。
1.2 湍流研究简介
关于湍流这一重要而普遍问题的研究已有数百年的历史。人类对湍流问题的*早关注可以追溯到阿基米德时代，有确切记载的研究可以追溯到约500年前的达 芬奇。达 芬奇在一些手稿中（图1.1）绘出了河流与渠道中紊乱的流态。图1.1中上半部分为河流中急流绕过钝体后形成的紊动，下半部分为高速水体射入静水后形成的不同尺度的涡旋。达 芬奇通过敏锐的观察精确捕捉到了湍流中异常混乱的流态与尺度差异极大的涡旋，并通过天才的绘画技巧将其描绘出来了，这可能是人类第一次意识到湍流运动的复杂性与其多尺度特性，而达 芬奇通过绘画来展示和研究湍流也与近代流动显示的基本思想吻合。
图1.1 达 芬奇关于湍流的手稿（现藏于法国国家图书馆）
现代湍流研究始于Reynolds。Reynolds在1883年进行了著名的雷诺实验，清晰展示了层流与湍流的本质区别，层流是定常流动，而湍流中质点的运动速度存在随机脉动，因此不同位置的流体会随时间迁移而相互掺混。在这一实验结果的基础上，Reynolds于1895年提出了雷诺分解，并推导了雷诺方程组，成为现代湍流研究的基本理论框架。雷诺方程组将流速和压强均分解为平均值和脉动值，代入N-S方程组后得到平均流速和压强的控制方程。由于N-S方程组的强非线性特性，雷诺方程组在描述平均运动的同时，出现了脉动流速分量之间的相关矩，这一项具有应力量纲，因此称为雷诺应力，表征湍流中脉动对平均量存在影响。雷诺方程组的未知数个数大于方程个数，方程组不封闭而无法求解。因此，建立湍流模式封闭雷诺方程组成为湍流研究的核心问题。
围绕这一问题，早期的湍流理论研究逐渐分为两种思路：其一为使用一些物理假设建立物理模型，直接将雷诺应力与时均量建立关系。Boussinesq于1877年提出二维湍流的雷诺应力与黏性力作用相似，雷诺应力与平均速度梯度成正比，二者之间的比值为涡黏系数[3]，随后这一假定被推广至三维情况。涡黏系数（eddy viscosity）在多数情况下并不是常数，这与湍流的平均运动有关，一般需要实验测定。因此，Boussinesq假定虽然将雷诺应力与平均运动联系起来，但是多出了一个未知的经验系数，本质上并没有解决雷诺方程组封闭的问题。
在雷诺方程被提出30年之后，Prandtl于1925年提出混合长理论（mixing length model）[4]。Prandtl借用分子运动论中的分子自由程概念，认为湍流中的流体微元与分子类似，假设微元携带了平均流场的平均动量向某一方向运动，其动量在走完一个混合长度后，突然与新位置周围不同动量的流体微元混合，在混合长之内，流体微元的动量保持不变。在这一假设下，Prandtl能够将脉动流速和平均流场的平均速度梯度联系在一起。1933年，在壁面湍流中，Prandtl假设混合长与所研究的点到壁面的距离成正比，比例系数则由实验确定，称为Kármán常数。根据混合长理论和这一假设，雷诺方程组*终封闭。在壁面湍流中，根据混合长理论可推导得到著名的平均流速分布的对数律。这是现代湍流近140年研究历史上被实验反复验证和广泛接受的为数不多的定量结果之一。
以不同物理模型为基础，研究者逐渐发展了许多封闭雷诺方程组的方法，形成了各种湍流模式理论。这些研究成为目前计算流体力学及工程应用的基础。
雷诺应力与时均量直接建立关系的同时忽略了脉动这一湍流的重要特征，无法反映湍流内部运动的细节。因此，另一种封闭雷诺方程的思路主要关注湍流脉动的特征。这一思路更为基础，试图理解湍流运动的物理实质，*终形成了湍流统计理论。Friedman和Keller于1924年按照推导雷诺方程组的基本思路，得到了空间两点脉动流速二阶相关矩，即雷诺应力的方程组（Friedman-Keller方程组），但是方程组中又出现了三阶相关矩，成为新的未知数，所以必须引入新的方程来描述三阶相关矩。由于N-S方程组的强非线性，这样的过程将会无穷无尽。直接求解无穷个方程是不可能的事，因此必须对问题进行一定的简化。另外，在三维空间中的一般情况下，两点二阶相关矩具有9个独立分量，两点三阶相关矩有18个独立分量，即使只写出二阶和三阶相关矩的方程组，也会出现共27个未知数的方程组，问题解答也会过于困难。
为了简化问题，Taylor于1935年提出了均匀各向同性湍流的理论模型。均匀各向同性湍流简化了所有边界条件，假设湍流在一个完全独立无约束的均匀时空中演化，以研究湍流本身的特征。在自然界中，严格的均匀各向同性湍流是不存在的，其近似也只在极端条件下能够存在。不过，如果能在这种简单条件下对雷诺方程组封闭和湍流基本性质的研究取得进展，则有希望逐渐推广到更加复杂的条件中去。这种理想条件下，二阶和三阶相关矩均只剩一个独立分量。然而，即使在这种极简化模型的条件下，脉动相关矩的控制方程（Kármán-Howarth方程）仍然不封闭。
虽然*终未能封闭雷诺方程组，但是研究者得到了一些重要的认识。例如，Kármán-Howarth方程预测的两个二阶和三阶相关矩与实验结果相符，说明湍流确实能够被N-S方程组描述；均匀各向同性湍流的研究对了解湍流的衰减规律有所帮助。
Taylor的均匀各向同性湍流条件过于苛刻，其中推导的结果也很难直接推广到稍微复杂的工况中。1941年，Kolmogorov提出湍流的非均匀各向同性主要是由大尺度涡旋引起的，而不同工况下的湍流在小尺度涡旋上则可能是均匀各向同性的，称为局部均匀各向同性。在这一假定基础上，Kolmogorov使用结构函数取代相关矩反映小尺度涡旋的统计性质，放弃从N-S方程组导出其结构函数方程的方法，基于Richardson湍动能级串过程（cascade）的思想，使用量纲分析法，得到了结构函数的2/3定律以及一维湍谱或标量场湍谱的5/3定律，称为K41理论。K41理论第一次导出了湍流微结构的规律，成为现代湍流近140年研究历史上另一个被实验反复验证和广泛接受的定量结果。
受实验条件和认识水平的限制，湍流前期的研究主要将湍流脉动视为随机的过程，每种尺度的涡旋均占据了湍流的整个时空。然而，1949年Batchelor和Townsend发现湍流中的大尺度结构在时空中是不连续的，存在间歇性。这与K41的理论基础矛盾。同时，Landau指出K41假设能量级串的随机传递会导致雷诺数增大时耗散率趋于无穷大。这些实验和理论上的问题表明湍流的内部结构并不是如K41描述的那样简洁。1981年Frisch等应用复奇点理论研究检验了一些非线性系统，结果暗示间歇性是所有非线性系统的共同特征，并且都存在负幂形式的谱。
间歇性的发现导致众多对K41理论的修正，力图在包含间歇性的基础上也能导出能得到实验验证的结果，如Kolmogorov的K62理论、Frisch等于1978年提出的β模型、佘振苏等于1994年提出的层次结构模型等。
在新的实验技术发展起来之后，相干结构的研究成为湍流研究的另一个热点。Kline等于1967年在壁面湍流黏性底层与缓冲区中发现了条带结构和猝发现象，拉开了相干结构大规模研究的大幕。研究者在研究过程中逐渐认识到湍流中的运动并不是完全随机的，而是存在一定的有序结构，事实上湍流是一种随机性和确定性复杂交织的过程。经过整个湍流界20余年的研究和积累，Robinson于1991年总结了湍流边界层的研究成果，基于发夹涡模型给出了猝发的发生和维持机制。随着粒子图像测速（particle image velocimetry，PIV）技术和数值模拟技术的发展，对相干结构的研究日渐深入，Adrian等于2000年基于发夹涡和发夹涡群模型建立了壁面湍流外区相干结构组织秩序，并认为边界层中大尺度结构的间歇性来自于发夹涡群的发展和迁移。2007年Balakumar和Adrian给出了壁面湍流中相干结构的三层结构，其中*大一级的超大尺度结构纵向长度可以达到壁面湍流外尺度的几十倍。这些结构会引起时空中不同尺度的间歇性。
另一个湍流研究的新进展是数值模拟技术，特别是直接数值模拟（direct numerical simulation，DNS）技术。DNS使用数值方法在不加任何物理模型的条件下直接解算N-S方程组。这种方法要求解算从Kolmogorov尺度到*大运动尺度的所有脉动，因此计算网格很密，计算量巨大。Kim等于1987年首次得到摩阻雷诺数为180的封闭槽道流的DNS数据集，并且与经典实验数据吻合良好，说明DNS能够获得可信度与实验结果无异的能反映湍流真实运动状况的数据集。随着计算机技术的飞速发展，目前*高雷诺数能够达到的摩阻雷诺数为5200。虽然已经有了巨大的进步，但是限于计算能力，相对于工程应用，DNS仍然只能处理极规则的边界条件和极小的计算区域。即使这样，相对于传统实验，DNS数据集包含了三维流场中所有测点上的三维流速和压强信息，为研究者提供了前所未有的关于湍流的完整信息。
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