《几何学的力量》是《魔鬼数学》、数学家作者乔丹·艾伦伯格的新书，是一本关于几何学的精彩发展历程和丰富实践应用的普及读物，其间你将在欧几里得、毕达哥拉斯、庞加莱、费马、康威、牛顿等一众大咖“导师”的指引下，纵横于经济、政治、金融、大数据、宇宙等多个重要领域，探索一些重要的科学、政治、经济、哲学、医学、信息技术、生物学等问题背后的几何原理。
艾伦伯格用风趣诙谐、寓教于乐的文字告诉我们，几何学非但不是你人生中的“劫难”，更会成为你生活中的助力。这本书从读者身边的事物入手，比如吸管、数字货币、学校教育、股市、流行病等，抽丝剥茧解释在它们背后几何学扮演的重要角色，引导读者将几何学知识应用到自己的生活和工作中去，详细解答了读者的“我学了几何学究竟有什么用？”的疑问，并启迪和启发读者的创新思维。
“几何学”一词的最初含义是“丈量世界”，但经过漫长的发展历程，它的含义包罗万象，可以解释世间万物的运行机制。如果你想知道几何学到底有什么用处，想用几何思维重新认识我们身边的世界，就跟随这本书去重新发现几何学的神奇力量吧。
你将在欧几里得、毕达哥拉斯、庞加莱、费马、康威、牛顿等一众大咖“导师”的指引下，纵横于经济、政治、金融、大数据、宇宙等多个重要领域。
你将在“画得很烂”的手绘插图的帮助下，习得出色的问题推理能力。
你将会读到“诺特的裤子”“笨蛋的难关”“醉汉下围棋”“无处不在的车钥匙”“香农图书馆”等诸多有趣的几何故事。
我们生活在一座蓬勃生长、欣欣向荣的“几何城市”中。几何学并未超越时空，它就在我们身边，与日常生活中的各种推理交织在一起。
对像我这样的数学专业人士来说，当看到人们被互联网上的一道数学问题难住，一两天都不得其解时，这绝对是一大乐事。我们愿意看到其他人发现并享受我们一生都乐在其中的思维模式。如果你有一座非常漂亮的房子，那你肯定喜欢有人意外来访。
以这种方式出现的问题通常都是好问题，尽管它们一开始看起来可能很无聊。而吸引你注意力的东西是，那种与一个真正的数学问题不期而遇的感觉。
例如，一根吸管上有多少个洞？
我问过的大多数人都认为这个问题的答案显而易见。但是，在得知某些人眼中显而易见的答案与自己的答案不同时，他们都表现得非常惊讶，有时甚至有点儿愤愤不平。这是“You’ve got another think coming”（你错了，再好好想想吧）与“You’ve got another thing coming”（你还有一件事要做）的数学版辨误问题。
据我所知，“一根吸管上有多少个洞？”的问题最早出现在《澳大利亚哲学杂志》（Australasian Journal of Philosophy）于 1970 年刊登的一篇论文中，斯蒂芬妮·刘易斯和戴维·刘易斯夫妇在这篇文章中讨论的管状物是一个纸巾卷筒。2014 年，这个问题以民意调查的形式再次出现在一个健身论坛上。其争论的腔调与《澳大利亚哲学杂志》不同，但争议的内容是一样的。“0 个洞”、“1 个洞”和“2 个洞”的答案都得到了不少人的支持。
随后，Snapchat（色拉布，一款“阅后即焚”的照片分享应用）上出现了一段视频：因为 2 个洞和 1 个洞的争论，两名大学生好友变得火冒三丈、怒目相向。这段视频不断传播，最终的浏览量超过 150 万次。吸
管问题在Reddit（红迪网，一家社交新闻网站）和推特上也风靡一时，还登上了《纽约时报》。BuzzFeed（一家新闻聚合网站）的一群年轻、有魅力的员工对这个问题备感困惑，他们为此拍摄了一段视频，也收获了几十万次的点击量。
你可能已经开始思考那几个主要的观点了，让我们把它们罗列出来吧：
0个洞：把一块长方形的塑料卷起来，然后用胶水将接口处粘住，一根吸管就做好了。长方形塑料上没有洞，当你把它卷起来时，也不会在上面留下任何洞。所以，它仍然没有洞。
1个洞：这个洞就是吸管的中空部分，从顶端一直延伸到底端。
2个洞：看一眼就知道了！吸管的顶端有1个洞，底端也有1个。
我的第一个目标是让你相信这些洞确实会让你感到困惑，即使你不这样认为。原因在于，上述三种观点都存在严重的问题。
我先来驳斥“0 个洞”观点的支持者。有些东西即使不被移除任何部分，也可以产生洞。做百吉圈（一种硬面包）时，我们并不是先做比亚利面包卷，然后在中间打洞，而是先把面团揉搓成蛇形，然后将其两端相连，百吉圈就做成了。如果你否认百吉圈上有个洞，那么毋庸置疑，你会遭到纽约、蒙特利尔和世界各地的任何一家正宗熟食店的嘲笑。
关于“2个洞”的观点呢？这里有一个问题要考虑：如果一根吸管上有2个洞，那么其中一个洞的洞底在哪里？另一个洞的洞口又在哪里？如果你不介意，可以想象有人让你数一块瑞士干酪上有多少个洞，你会分
别计数干酪顶部的洞和底部的洞吗？
或者，把吸管底端的洞堵住，这样一来，“2 个洞”观点的支持者所说的底端那个洞就消失了。从本质上讲，现在这根吸管变成了一个又高又细的杯子。杯子上有洞吗？是的，你会说它顶部的开口就是一个洞。好吧，如果这个杯子变得越来越短、越来越粗，最终变成一个烟灰缸呢？当然，我们不会把烟灰缸的上缘称作“洞”。但是，如果这个洞是在从杯子到烟灰缸的变化过程中消失的，那么它到底是何时消失的呢？
你可能会说，烟灰缸上仍然有 1 个洞，因为它有一个凹陷处或一个负空间，那里可以容纳物质，但实际上没有任何物质。你坚持认为洞不一定要“贯穿到底”，那你不妨“思考一下，我们说地上有个洞，是什么意思呢？”。这是一个公平合理的反对理由，但我认为，如果我们在什么算作洞的标准问题上过于宽松，而把任何凹陷都当成是洞，就会让这个概念失去有效性。当你说水桶上有个洞时，你指的并不是它的底部有个凹陷处，而是它会漏水。同样地，即使你在比亚利面包卷上咬一口，它也不会变成百吉圈。
至此，还剩下“1个洞”的观点，它是三个备选项中支持人数最多的一个。现在，让我来告诉你它有什么问题。当我问我的朋友凯利关于吸管的问题时，她直截了当地否定了“1个洞”的观点：“这是否意味着嘴巴和肛门是同一个洞？”（凯丽是一名瑜伽教练，所以她倾向于从解剖学的角度看问题。）毫无疑问，这是一个公平合理的问题。
但是，我们假设你有足够的勇气接受“嘴巴 = 肛门”这一等式。即便如此，挑战依然存在。下面是那两名大学生在Snapchat视频中的一个场景（不过说实在的，你还是自己去看吧，我无法通过文字和舞台指示完美地呈现出他们怒气越来越盛的过程），其中1号兄弟支持“1个洞”的观点，2号兄弟则支持“2个洞”的观点。
2号（拿起一个花瓶）：这上面有多少个洞？ 1个洞，对吧？
［1号默默地同意了。］
2号（拿起一个纸巾卷筒）：这上面有多少个洞？
1号：1个。
2号：理由呢？（再次拿起那个花瓶）它们看上去一样吗？
1号：因为如果我在这里（在花瓶底部做了一个手势）打 1个洞，它还是只有 1个洞！
2号（被激怒了）：你刚才说，如果我在这里打 1个洞。
［气得直喘粗气］
1号：如果我在这里再打 1个洞，它就有……
2号：对——再打 1个洞，加上这个洞，共有 2个洞！到此为止吧！
在这个场景中，支持“2个洞”观点的那位兄弟似乎表达了一个非常合情合理的原则：在某个物体上打一个新洞，洞的数量就应该增加一个。
我们再来看一个更难的题目：一条裤子上有多少个洞？大多数人给出的答案都是3个：裤腰上有1个洞，裤腿上有2个洞。如果你把裤腰缝合起来，就会得到一根由牛仔布做成的特大号吸管，上面还有一个弯儿。如果一开始有3个洞，你缝合其中的1个，应该还剩下2个而不是1个，对吧？
如果你坚持认为一根吸管上只有1个洞，那你也许会说一条裤子上只有2个洞。在你缝合裤腰之后，裤子上就只剩下1个洞了。这是我经常听到的答案，但这个答案与“一根吸管上有2个洞”的观点面临着同样的问题：如果一条裤子上有2个洞，它们在哪里？其中一个洞的洞底和另一个洞的洞口又在哪里？
或者，你可能认为一条裤子上只有1个洞，因为你所说的洞是指裤子内部的负空间区域。如果我把牛仔裤的膝盖部位撕破，制造出一个新洞，这样做会影响洞的数量吗？你坚持认为不会，裤子上仍然只有1个洞，人为地把牛仔裤撕破不过是给那个洞制造了一个新的开口。缝合裤腰或堵住吸管底端，并不会让洞消失，只是封闭了洞的出口或入口。
但这又把我们带回到不得不说烟灰缸上有1个洞的问题。更糟糕的是，假设我有一个膨胀的气球。根据你的说法，这个气球上有1个洞，即气球内部加压空气占据的区域。如果我拿一根大头针在气球上戳一个洞，气球就会爆炸，只留下一个橡胶圆盘，也许上面还有一个结，但显然没有洞。也就是说，某个东西上本来有1 个洞，你又在上面戳了1个洞后，它反而一个洞也没有了。
你现在感到迷惑不解了吗？我希望如此！数学无法确切地回答这个问题，因为它不能告诉你“洞”的词义（这取决于你和你使用的语言）。但它会告诉你有哪些意思是你能够表达的，这样至少可以避免你被自己的假设绊倒。
让我用一个富有哲理的口号开启我们的讨论吧：一根吸管上有2个洞，但它们是同一个洞。
引 言 事物在哪里？它们长什么样子？ / VII
非凡的魅力 / IX
第1章 我投欧几里得一票 / 001
僵化死板的教学方式 / 007
毕达哥拉斯定理的证明 / 009
笨蛋的难关 / 015
等腰三角形的定义 / 021
第2章 一根吸管上有多少个洞？ / 023
通过画得差的图形进行好的推理 / 028
诺特的裤子 / 033
莫比乌斯带和三体问题 / 036
第3章 给不同的事物赋予相同的名称 / 041
拉挤变换 / 044
庞加莱，我拉挤了时空！ / 048
第4 章 狮身人面像的碎片 / 053
蚊子问题和《天才少女》 / 057
尝一口就能知道整碗汤的味道 / 059
给《自然》杂志的一封信 / 064
随机游走到巴黎证券交易所 / 068
花粉颗粒似乎具有生命力 / 071
0 号沼泽 vs 1 号沼泽 / 073
马尔可夫链和香农信息论 / 077
第5 章 他的棋风就是不可战胜 / 085
阿克巴、杰夫和尼姆树 / 088
热爱树栖生活的人类 / 092
W局面和L 局面 / 098
以此类推 / 106
Nimatron先生的世界 / 110
非《软纽扣》不可吗？ / 116
大获全胜 / 120
我的程序员是上帝 / 123
非洲格拉斯哥开局 / 125
第6 章 试错法的神秘力量 / 129
宝石手链和费马大定理 / 132
费马小定理的逆命题 / 138
两名醉汉下围棋 / 139
无限维度的策略空间 / 146
第7 章 机器学习如同登山 / 151
贪婪是相当好的东西 / 154
我是对还是错？ / 158
深度学习和神经网络 / 162
车钥匙无处不在 / 169
第8 章 距离、家谱图和单词地图 / 171
所有英语单词的地图 / 175
第9 章 三年来的所有星期天 / 183
第10 章 今天发生的事明天还会发生 / 191
它们不是上帝最重要的思想 / 195
神奇数字R0 / 198
明年将会有77 万亿人感染天花 / 203
康威的数学游戏 / 205
辛普森悖论 / 207
哪枚金币是伪币？ / 208
流行病的数学模型 / 211
斐波那契数列和梵语诗歌 / 216
牛顿第二定律和差分方程 / 219
每个点都是临界点 / 221
第11 章 可怕的增长定律 / 223
派对把戏 / 230
但其中有些是有用的 / 235
曲线拟合师和逆向工程师 / 239
第12 章 香烟烟雾潜伏在烟叶中 / 243
南达科他州和北达科他州（上） / 245
黄金比例和波浪理论 / 255
南达科他州和北达科他州（下） / 260
揭秘谷歌的运行机制 / 265
和弦的音符和量子物理学 / 269
第13 章 空间的皱折 / 275
世界地图、比萨定理和北极熊 / 278
你的埃尔德什数是多少？ / 284
图像和书虫 / 288
远距离读心术和熵 / 296
世界上唯一的名字 / 303
小世界网络 / 307
第14 章 用数学思维破解选举“黑魔法” / 311
约瑟夫的攻击性地图 / 315
衰败选区和“格里蝾螈”行为 / 319
哪个政党是克雷奥拉州的当权派？ / 327
从艺术到科学的演变 / 331
别再踢唐老鸭了！ / 334
把晶砂人划分出去！ / 340
效率差距和浪费的选票 / 342
会撒谎的统计数字 / 348
错误的问题比错误的答案更糟糕 / 350
醉醺醺的选区地图 / 353
图像、树状图和洞的凯旋 / 360
一场关于三明治的口头辩论 / 365
从阴暗的密室到明亮的教室 / 372
结语 膨胀的房子和翩翩起舞的窗户 / 375
机器捕捉不到事实的灵魂 / 377
每个人都离不开几何学 / 383
致 谢 / 387
