第1章单自由度系统的振动
发动机振动*简单的模型可由一个单自由度系统来描述。自振频率的概念及共振现象通过分析一个单自由度系统就可得到明确的解释。另外，振系振动强弱的度量方法也具有普适性。因此，本书首先介绍单自由度系统的振动。
1.1运动微分方程
取如图1.1所示的单自由度振动系统模型。它由质量、弹簧和阻尼器组成。此处认为弹簧与阻尼器皆为线性元件，即弹性力与位移x成正比、阻尼力与速度x 成正比。
这一模型的运动微分方程可表示为（1.1）
式中，m表示质量；d表示阻尼系数；s表示刚度系数；F（t）表示激振力；t表示时间；x表示质量m离开平衡位置的位移。
方程的解由齐次方程F（t）=0的通解和非齐次方程F（t）≠0的特解构成。齐次方程F（t）=0的通解描述振系的自由振动，而非齐次方程F（t）≠0的特解则描述振系的受迫振动。下面将分别讨论齐次方程的通解所描述的自由振动和非齐次方程的特解所描述的受迫振动。分析受迫振动时，仅考虑激振力为简谐激振力的情况。
1.2自由振动
无激振力时，即F（t）=0，振系的自由振动由方程（1.1）对应的齐次方程来表征：
（1.2）
方程两边同除m可得
（1.3）
式中，
（1.4）
D称为阻尼比（相对阻尼系数）。
（1.5）
ω称为振系的无阻尼自振频率。
假设方程的解为
（1.6）
代入方程（1.3）后，可得
（1.7）
由于A≠0，故有
（1.8）
此方程称为振系的特征方程，其解为
（1.9）
对于发动机，绝大多数情况下满足：
（1.10）
因此，方程（1.9）可改写为λ1，
（1.11）
故可得方程（1.3）的通解为
（1.12）
式中，A1和A2为复常数。考虑到x（t）表示的是振系的振动位移，故A1和A2必为共轭复数，可设
则代入方程（1.12）后*终可得
（1.13）
式中，
（1.14）
（1.15）
系数a和b由初始条件确定。
当无阻尼时，即D=0时，方程（1.13）变为
（1.16）
图1.2（a）描述了振系的无阻尼自由振动，而图1.2（b）描述了阻尼对振系自由振动的影响。可见，当振系自由振动时，其振动频率为ω或1-D2ω。但当阻尼比D＜＜1时，1-D2≈1。故在一般情况下，总是把ω称为振系的自振频率。由方程（1.5）可见，它只取决于振系的固有参数，即质量m和刚度s，因此，也常被称为振系的固有频率。
图1.2振系的自由振动从图1.2（b）可见，阻尼对振动幅值的影响非常明显。阻尼使得自由振动的幅值随时间不断衰减，*终至零。
1.3利用自由振动确定阻尼的方法
再回到描述有阻尼振系自由振动的表达式（1.13）。其幅值衰减系数为。当振系从任一时刻t0开始振动一个周期T之后，幅值比为
（1.17）
或（1.18）
式中，x0为时刻t=t0时的振幅；x1为时刻t=t0+T时的振幅。
在弱阻尼情况下，由方程（1.18）可得
（1.19）
当相邻n个周期时，方程（1.19）变为
（1.20）
式中，xn为时刻t=t0+nT时的振幅。
根据这一计算公式，可实验获取阻尼比D。其过程是利用锤击使振系产生自由振动，测量出相邻n个周期的振幅值，则可由式（1.20）计算出阻尼比D。
1.4受迫振动
所谓受迫振动指外界因素作为激励使振系产生振动，并且在振动过程中，这一激励始终作用在该系统上。此处仅考虑外界激励为简谐激振力时的受迫振动。虽然这是*简单的形式，但一般情况下，发动机受到的动载皆为周期性激扰。它经傅里叶分解总可表示为简谐函数的级数。因此，把外载视为简谐力并不失一般性。
设简谐激振力为
（1.21）
代入方程（1.1），并考虑式（1.4）和式（1.5），则有
（1.22）
其稳态解为
（1.23）
式中，
（1.24）
（1.25）
引入静态位移：
（1.26）
和频率比：
（1.27）
则方程（1.24）和方程（1.25）可化为如下的无量纲表达式：
（1.28）
（1.29）
图1.3和图1.4分别表示Q和φ随转速比的变化，其中阻尼比D作为参数示出。由图1.3可见，Q从1开始随转速比的增加而增加，达到*大值后渐近于零。Qλ曲线称为幅频特性曲线；而φλ曲线称为相频特性曲线。
当阻尼比
（1.30）
Q值此时达到*大值，即
（1.31）
当阻尼很小时，D＜＜1，则有
（1.32）
上式表明，激振频率Ω等于振系自振频率ω时，系统发生共振。共振的振幅为
（1.33）
一般情况下，阻尼比D值很小，故共振振幅会很大。例如。因此，“避开共振”成为航空发动机转子设计的重要准则。
从图1.4表示的相频特性曲线可见，无论阻尼比D取何值，共振时，相角φ总是保持90°。因此，有时也以相角φ判断共振点。
1.5阻尼的半功率点估计
如果已知振系的幅频特性，则可根据幅频特性估计出阻尼比D值。
在共振点。则对于任一幅值α Qmax（α为任意实数），由图1.5所示的幅频特性可得
（1.34）
式中，为频率比。
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