第1章矩不变量导论
1.1研究图像矩不变量的目的、动机
日常生活中，我们经常会接收、分析、处理大量各种类型的信息，95%以上的信息是基于光学的图像信息。图像能够表示复杂场景，并且能够进行紧凑而有效的处理。因此，图像不仅用于获取信息，也可以用于人际交流以及人机对话。
普通的数字图像包含着大量信息。一幅图像中所包含的信息，要用十几甚至几十页文本来描述。人们对图像分析有巨大需求。
在机器人视觉、遥感、天文和医学等许多实际应用领域，对成像系统获取的图像进行分析和解释，是一个关键问题。成像系统和成像条件通常并不完美，因此所获得的图像实际上是真实场景的退化版本。各种因素造成图像质量的退化（几何的、灰度的、颜色的等等），比如在成像过程中的几何畸变（图1.1）、透镜像差（图1.2）、场景的运动、系统的和随机的传感器的误差等等。
一般来说，理想图像f（x，y）和实际获取的图像g（x，y）之间可以描述成g=D（f），D是退化操作符。D可以分解为辐射操作符R和几何操作符G。在实际成像系统中，R能够模化成空变和空不变附加噪声系统，而G一般是空间坐标变换（比如透视投影）。实际上，两个操作符都是未知的，或带有未知参数的模型。我们的目的是通过分析感知的图像和预知的退化信息，获得理想图像。
图像处理通常由三个阶段组成：第一，图像预处理，分割重要的感兴趣的物体;第二，识别分割出来的物体，即用数学模型来描述物体，从数据库中识别出某一类特定的物体;第三，分析各个物体之间的空间关系。在这三个阶段，获取图像的某种不变特征并由这些特征描述图像，无疑是十分重要的。
1.2什么是不变量
物体识别有三种方法：原始方法、图像归一化方法、图像不变量特征方法。原始方法搜索退化图像的各种可能的参数空间，不仅包括各类图像训练集本身，还要包括畸变图像，如旋转、比例和模糊等版本的图像参数空间，这是非常费时的，实际上是不可能的。
图像归一化方法，需要在图像分类前，先将它们转换成一个标准状态。这是一个很有效的方法，但归一化方法需要求解所谓病态条件或病态问题，比如模糊图像的归一化意味着盲解卷积问题，而畸变图像的归一化需要图像登录到一些参考模型。
不变量特征方法似乎是*有前途、应用*广泛的方法。基本想法是应用一套叫做不变量的可测物理量来描述物体。不变量对物体的畸变不敏感，对不同类型的物体具有足够的识别能力。从数学观点来看，不变量I是一个图像的空间的函数，它的值在图像所有畸变中保持不变，即I（f）=I（D（f）)，这个条件叫不变性。实际上，为了适应图像分割的不完美、类内变化和噪声，我们通常把这个条件弱化，只要I（D（f））不显著不同于I（f）即可。不变量I的另外一个重要性质是它的识别能力，属于不同类的物体I的值应该显著不同。显然，这两个要求是相互矛盾的。不变性越广，则识别力越弱，反之亦然。在不变性和识别力之间选择一个适当的折中，是基于不变量的图像识别的重要任务（见图1.3）。
1.3不变量分类
可以以不同观点对不变量进行分类。*直接的方法是按照不变量的类型进行分类，区分为平移、旋转、比例、仿射、投影、弹性几何不变量以及线性对比度拉伸、非线性密度畸变和卷积的辐射不变量。
按照所使用的数学工具不同，不变量有以下类型。
简单的形状描述符：紧缩的、凸的、拉升的等。
变换系数特征：由图像的各种变换产生的特征，傅里叶变换描述符、阿达玛（Hadamard）描述符、拉东（Radon）变换系数、小波基特征等等。
点集不变量：使用主点位置。
微分不变量：采用物体边缘的微分。
矩不变量：图像矩的特殊函数。
按照物体的哪一部分用于计算不变量，可以分为以下类型：
全局不变量：由图像整体生成（包括未进行图像分割的背景）。这种不变量包括图像在某种基函数上的投影，由积分计算。与局域不变量比较，全局不变量对噪声以及不精确的边缘检测等更加稳定。全局不变量的重要缺点是图像的局部变化影响整个不变量的值，只有少数分量是非局域化的。当被研究的物体被另外的物体部分遮挡，或者物体有一部分不在视场时，不能使用全局不变量。矩不变量就是这种不变量。
局域不变量：与全局不变量不同，局域不变量是由某个主点的一定邻域计算的，微分不变量是这种不变量的典型形式。首先检测物体的边界，然后计算边界的微分，获得不变量。这种不变量只由边界的形状决定，如果物体的其他部分发生了变化，局域不变量是不变的。全局不变量对于离散误差、分割精度和噪声是特别敏感的，当物体被部分遮挡，采用局域不变量进行识别，是很优越的。实际上，使用局域不变量是有困难的。
半局域不变量：希望保持以上两种不变量的优点而避免其缺点。将物体分成一些稳定的部分（经常是基于突变点或者边界的凸点），然后用某种全局不变量分别描述不同的部分。整个物体由不变量组成的向量串表征，识别物体被遮挡部分由*大的匹配串决定[17-23]。
本书聚焦于图像矩和矩不变量。在19世纪，第一台计算机出现很多年之前，在群论和代数中就提出了不变量的框架。代数不变量由著名的德国数学家D。Hilbert[24]进行了彻底的研究，20世纪，其他学者进一步发展了不变量理论[25，26]。
1962年，M.K.Hu首先将矩不变量引入模式识别和图像处理中，在文献[27]中，他采用代数不变量理论，推导出了7个二维图像旋转不变量。自此以后，成百上千的论文对图像不变量进行了改进、扩展和推广，并且应用于许多实际领域。矩不变量成为*重要的和*经常使用的图像描述子。虽然它们受到一些本质的限制（*重要的是由于全局性，妨碍它应用于遮挡物体的识别)。它经常被当作首选的描述符，用于评价其他描述符（也称描述子）的性能。尽管研究者们发表了大量的论文，但仍有许多问题需要解决。
1.4什么是矩
矩是标量，用于表征函数并获取它的重要特征，已经使用过几百年，在统计学中描述概率密度，在固体力学中描述物体的质量分布。从数学的观点看，矩是函数在多项式基上的投影（类似地，傅里叶变换是函数在圆谐函数系上的投影)。为清楚起见，引入一些基本术语和命题，以后会在全书中使用。在以后的所有论述中，各种不变量都是由几何矩和复数矩组成的，我们在这里先给出几何矩和复数矩的定义。
定义1.1紧致实空间内定义分段连续二元函数f（x，y）为图像函数（图像)。f（x，y）是有限的、非零可积的。
图像的矩定义为
（1.1）
此处是在D内定义的基函数，Pkj（x，y）可以是任意函数，比如指数函数、多项式函数等，p，q是非零整数，r=p+q为矩的阶。
1.4.1几何矩
如果选择指数函数作为基函数，则图像的几何矩（geometricmoment）mpq定义为
（1.2）
低阶几何矩有确定的意义：是图像质量（对二值图像是图像面积)，定义重心或图像中心。二阶矩和描述图像对于坐标轴的质量分布，在力学中称为惯性矩。在力学术语中可以用以下符号和表示回转半径。
如果图像被当作概率密度函数（图像值被归一化为)，那么和就是平均值。在零平均情况下，和是水平方差和垂直方差，是它们之间的协方差。这样，二阶矩确定图像的方向。后面将会看到二阶矩可用作图像的归一化位置。在统计学方面，两个高阶矩特征一般作为偏斜和峰值。定义为水平投影的偏斜，为垂直投影的偏斜。用偏斜测量投影相对于对称位置的偏离程度。如果对于平均位置投影是对称的，则相应偏斜等于。峰值确定概率密度函数的峰值，分别由水平投影峰值和垂直投影峰值决定。在下列意义下由几何矩表征的图像特征是正交的：对于任意图像函数，各阶几何矩存在并且有限，图像可以由它的矩精确重建（这就是唯一性定理)。
矩在统计学中反映随机变量的分布情况，在力学中被用来表示物体的质量，如果将图像函数看作是密度分布函数，那么图像矩就可以作为图像特征应用于图像分析中。常用零阶矩表示图像的“质量”：一阶矩用于表示图像的质心：
若将图像的坐标原点移至质心处，就得到对于图像的位移不变的中心几何矩。
1.4.2中心矩及归一化的中心矩
将函数f（x，y）的坐标原点移至质心处，就得到了图像函数f（x，y）的中心矩（centralmoment）μpq：
（1.3）
归一化的中心矩由ηpq表示：
（1.4）
其中
（1.5）
1.4.3Hu的七个矩不变量
由1.4.2节的二阶和三阶归一化的中心矩可以得出Hu的七个矩不变量：
（1.6）
Hu将这七个矩不变量用于字母图像的识别中，这七个矩不变量对于图像的平移、缩放和旋转具有不变性。
1.4.4复数矩
函数f（x，y）的（p+q）阶复数矩（complexmoment）的定义为
（1.7）
（1.8）
（1.9）
几何矩和复数矩具有同样的信息量。每个复数矩都能够表示成几项同阶的几何矩
的和，即
（1.10）
反过来有
（1.11）
引入复数矩是因为它在图像旋转时性状很好。当构造旋转不变量时能够很好地采用这一性质。
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