第1章 合作博弈方法
1.1 引言
博弈论主要研究具有竞争与合作特征的多个局中人的决策行为及其发生直接交互作用、交互影响情况下的决策优化问题[1，2]。博弈论研究包括合作博弈[3]和非合作博弈[4]两大类。
非合作博弈主要研究各个局中人如何选择*优策略使得其效用达到*大值。自从纳什均衡理论[4]被提出后，非合作博弈得到深入研究，取得突破性研究成果，推动非合作博弈在经济管理、社会、军事、政治等领域的应用。
合作博弈研究的是多个局中人之间的合作方式及效用分配问题。合作博弈包含非联盟合作博弈[5]与联盟合作博弈[6]。联盟合作博弈主要研究多个局中人之间的联盟形式及联盟合作收益分配方案，即联盟合作博弈解。联盟形式是指局中人联盟中的合作方式。联盟合作方式决定了联盟合作收益和各局中人所得的分配收益。联盟合作博弈的支付函数是指局中人在联盟合作中所得的收益。收益的多少是决定这种联盟合作是否能形成的重要因素。在研究中一般假设支付函数满足超可加性，表示联盟合作的收益高于个体单干的收益总和，这是局中人愿意合作的前提条件。联盟合作博弈解是指局中人联盟合作的收益分配方案，分配方案是否公平合理影响局中人的合作意愿和积极性，是联盟合作能否形成和能否成功完成的重要因素。因此，联盟合作博弈研究的主要内容就是根据实际应用背景合理、科学地定义联盟形式、支付函数和联盟合作博弈解。在此基础上，研究博弈解的性质和求解方法。目前，联盟合作博弈研究主要集中在分析联盟合作收益分配的解概念、性质讨论及其计算方法，其研究内容过于理论抽象，缺少对各类合作博弈过程的细致刻画和对实际应用问题的描述，特别是缺少结合经济管理问题研究其联盟合作和合作收益形成并对其联盟合作收益分配（即解）进行分析的研究工作。
经济管理中的合作博弈问题由多个具有独立经济主体的局中人组成。局中人各自为了实现自己的目标（即收益*大化）出发，考虑各种可能的合作方式和收益分配方案，尽力选择对自己*为有利的合作方案。此时，局中人之间属于竞争博弈关系。但一旦联盟合作方案达成，每一个局中人都将尽其所能进行合作，包括资源共用、信息共享等，相互协调，力求让整个联盟合作收益*大化，以实现先前约定的“双赢”目标。联盟合作的形成并未改变成员之间的竞争关系，追求自身收益*大化仍是其主要目的，竞争关系主要体现在合作收益的分配问题上。由于联盟合作追求整体系统的*优化，并希望在联盟合作内部进行公平、合理的收益分配，即寻求让参与联盟的局中人都满意的分配方案。因此，经济管理中联盟合作是典型的合作博弈问题，可以利用合作博弈理论方法进行研究。
经济管理中的联盟合作问题，如供应链联盟合作，局中人在合作创新时，一方面，考虑能力互补、技术能力差异、地缘限制、信任关系等客观原因，局中人之间的联盟方式可能不是任意的，而是根据客观情况形成的具有一定限制的联盟结构形式；另一方面，由于需求市场环境复杂多变，合作各方的信息不对称，可用资源有限等，联盟过程具有不确定性（即模糊性）。根据现实情况，这些模糊信息有一大类是指联盟形式参数信息的模糊性。由于参与合作的局中人各自的创新能力不同、可用资源限制或考虑风险控制等，他们通常以一定参与度或创新能力概率加入联盟合作。这些联盟合作过程中产生的模糊不确定性信息，*终会影响合作联盟结构形成及联盟合作博弈解的求解。现有文献中，有关在模糊联盟情况下如何构造模糊联盟结构及联盟合作博弈解的求解方法主要集中在对夏普利值[7]、欧文（Owen）值[6]等的研究。这些研究在一定条件下具有一定的理论指导意义，但都存在局限性。现有文献主要考虑局中人之间可任意结盟的单层模糊联盟合作博弈（简称模糊联盟合作博弈），对局中人之间的结盟限制考虑较少。但实际联盟合作中，需要考虑局中人的多种不同的结盟关系。首先，不同类型局中人之间关系因客户需求可能属于上下游关系。例如，在物流服务供应链中，要完成一次原材料的配送任务，需要提供包装—仓储—运输等一个序列物流服务。这需要提供相应物流服务的供应商进行合作配合，他们可以组成纵向物流服务创新供应链联盟进行合作，从而达到提高服务质量、降低物流成本的目的。其次，同类型的物流服务供应商也可以形成横向结盟关系，增强物流创新服务能力，提高在供应链联盟合作中的谈判话语权。*后，物流服务供应商之间的合作意愿也会受信任、地缘等关系影响，这使得有些供应商之间易于形成结盟，而有些则非常困难。对这些实际中存在的复杂多样的局中人结盟联盟的刻画描述，将有利于公平、合理地进行模糊联盟合作博弈解的定义和求解。目前对于这些类型的模糊联盟合作博弈的研究较少，无法有效解决物流服务创新供应链联盟的收益分配问题。因此，本书介绍模糊联盟合作博弈方法和性质，并将这些方法应用于物流服务创新供应链联盟收益分配问题。
本书主要研究内容根据合作博弈中局中人之间多种结盟关系的特点，考虑他们参与联盟的模糊不确定性，介绍多种类型的模糊联盟合作博弈分配方法。首先，为解决在模糊不确定环境下具有无约束结盟结构的合作博弈的收益分配问题，对清晰联盟合作博弈夏普利值、班兹哈夫（Banzhaf）值和值等进行拓展，提出局中人可任意结盟的模糊联盟合作博弈方法。在此基础上，针对现实合作联盟中可能存在一部分局中人之间无法结盟的情况，提出模糊联盟图合作博弈模型方法。其次，针对在模糊不确定环境下具有联盟结构的合作博弈收益分配问题，提出模糊联盟结构合作博弈方法。*后，考虑在模糊不确定环境下，合作博弈中的局中人之间可能存在多层结盟关系，提出多层级模糊联盟结构合作博弈方法。
1.2 联盟合作基本原则
合作的实质是为追求收益*大化而组成的合作关系，局中人参与合作的主要目的是希望借助合作关系，增加自身的收益。但当每个成员都希望*大化自己的收益时，在联盟收益分配过程中就会产生矛盾。显然，遵循科学、公平、合理的收益分配原则，寻求让所有合作伙伴都能满意和接受的收益分配方案是化解这种矛盾的有效途径。下面讨论四点收益分配的基本原则。
1.2.1 个体合理性和整体有效性原则
个体合理性是指对每一个参与联盟合作的局中人获得的收益要大于不参与联盟合作的收益，否则该局中人就有理由脱离联盟拒绝参与合作。整体有效性是指所有参与联盟合作的局中人应分完其联盟合作产生的收益。整体有效性也称整体*优，即全体局中人的总分配实现*优化。一个科学合理的联盟合作收益分配方案应该追求个体合理性和整体有效性的协调平衡。这样，有利于提高局中人参与联盟合作的积极性及联盟合作的形成。为了进一步保证联盟合作的稳定，还需要考虑联盟合作理性，即确保局中人参与的联盟合作*有利于其自身的利益，也就是选择获得收益*大的联盟合作。
设为局中人集合，上的任一子集表示一个联盟。将空集视为一个特殊联盟，那么个局中人能形成个联盟，用表示局中人集合的可行联盟集合。
定义1.1 [7]清晰联盟合作博弈可表示为一个序对，其中为清晰联盟合作博弈的支付函数，即且满足。
（1）若，则称为一个人联盟合作博弈。
（2）若对任意，有，则称是正的。
（3）若对任意且，有，则称是单调的。
（4）若对任意且，有，则称是超可加的。
（5）若对任意，有，则称为凸（超模）的。
记为所有清晰联盟合作博弈的集合。
为方便起见，将简写成，简写成，简写成，简写成。
定义1.2 [7]设。用一个支付向量表示联盟收益分配方案，其中为局中人所分得的支付（或收益）。当支付向量满足
则称其为整体有效性。
定义1.3 [7]设。一个支付向量满足个体合理性，当且仅当每个局中人所得的支付高于单独完成所得的支付，即对任意，有
定义1.4 [7]设。一个支付向量满足联盟理性，当且仅当对任意子联盟，有
定义1.5 [7]设。一个支付向量称为一个分配或有效分配，当且仅当它满足个体合理性和整体有效性。
记是联盟合作博弈的所有有效分配集合。
1.2.2 贡献与收益相匹配原则
局中人对联盟合作的贡献不同，则获取的相应收益也应该有所区别。因此，应该根据局中人对联盟合作的贡献大小进行收益分配，才能体现“多劳多得”的公平性，激发联盟成员积极性，促使他们更加努力地协同工作，为联盟合作的*终达成提供动力。因此，在进行联盟合作收益分配时，应该对局中人的贡献进行科学的评估，并分配给与其贡献相匹配的收益。
1.2.3 平等民主性原则
联盟合作收益分配策略的制定过程是一个群体决策过程。每一个局中人在联盟合作中都应有权根据自己在联盟合作中的贡献获得与之相匹配的收益。平等民主的群体决策过程体现了决策公平性，有利于收益分配方案得到所有局中人的认可。
1.2.4 风险补偿原则
由于联盟合作过程中存在一些不确定的潜在风险，在制定收益分配策略时，应考虑局中人获得收益与承担风险之间的关系。承担风险较大的局中人，分得的收益应较多，这样他们才愿意承担联盟合作中的风险，提高参加联盟合作的积极性。
1.3 联盟合作博弈方法
联盟合作博弈主要关注多个局中人之间的联盟形成方式及联盟效用分配方案或方式（即联盟合作博弈解）。20世纪中叶有过较多的研究，提出了一些重要的联盟合作博弈解概念。总的来讲，联盟合作博弈解一般分为集合解和单值解两类。下面，将对这两类联盟合作博弈研究解的状况进行简要概述。
集合解是满足个体合理性、整体有效性等理性条件下所有可能的联盟合作博弈解的集合。其特点是以占优和异议为主要准则，体现了稳定联盟的信息，主要代表性的集合解有稳定集[1]、核心（core）[10]、讨价还价集[11]、核仁[12]等。
1.3.1 稳定集
稳定集是联盟合作博弈的第一个解概念，1944年由von Neumann和Morgenstern[1]在其经典著作中提出。稳定集采用内部稳定性与外部稳定性刻画联盟效用分配的合理性。然而，稳定集既不能保证联盟合作博弈存在稳定集解，也不能保证稳定集在非空的条件下只有唯一元素（对应一个联盟效用分配方案）。相反，大多数稳定集通常会包含很多（甚至无穷多）个元素，使得在实际经济管理应用中很难甚至无法选择。Aumann和Peleg[13]把稳定集的概念推广到具有不可转移效用的联盟合作博弈中。
定义1.6 设是合作博弈的有效分配集合的子集，即。
（1）若任意，和之间没有超优关系，则称是内部稳定的。
（2）若任意，都存在，使得，则称是外部稳定的。
若既是内部稳定的又是外部稳定的，则称是合作博弈的稳定集。
1.3.2 核心
核心是1953年Gillies引进的，作为研究联盟合作博弈稳定集的一个分析工具，后经著名博弈论专家Shapley和Shubik发展成为联盟合作博弈解概念[14]。核心要求满足个体合理性、整体合理性与联盟合理性，是使用较多的联盟合作博弈的集合解概念[15]。但是，由于不存在一般形式的联盟合作博弈的核心解（即非空核心不存在），严重阻碍其在实际经济管理问题中的应用。Bondareva[16]和Shapley[17]分别研究了联盟合作博弈的核心解存在性条件，即现在的Bondareva-Shapley定理[18]。这个定理给出了联盟合作博弈的核心解存在性的充分必要条件，主要适用于检验一个解（即联盟效用分配方案）是否在核心中，难以用于计算核心。Shapley 证明了联盟合作凸博弈的核心与稳定集相同[19]。Debreu和Scarf [20]、Aumann和Maschler[11]分别证明了Edgeworth[21]在1881年提出的一个古典猜想，即对于交易者（卖主、买主）众多的市场博弈，其核心与竞争均衡（competitive equilibrium）完全一致。一些研究者还从不同角度证明了上述结论。这从一个层面上揭示了联盟合作博弈的核心解概
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