第1章 线性滑模故障重构观测器设计方法
采用滑模方法设计状态观测器是非线性控制领域的热点方向。其主要思想是，在观测器中设计关于状态估计误差的滑模控制切换项，得到状态精确估计，以便开展系统控制或故障诊断等[1]。对于线性系统而言，当故障、扰动等未知因素出现时，通过设计有效的控制策略，利用滑模的鲁棒性和不变性，观测器可以得到有效的故障诊断结论。基于滑模观测器实现故障诊断的方法一般有两种思路：一种是当系统发生故障时，观测器的滑模运动被破坏，此时系统产生残差信号进行故障检测，根据相关理论设置阈值，当残差信号超过阈值时，判定系统发生故障；另一种是即使系统发生故障，也能够通过设计滑模控制输入信号使得滑模运动维持在滑模面，并依据等效输出误差注入原理实现故障重构。
基于滑模观测器的故障重构方法采用等效输出误差注入原理，在一定条件下，通过观测器的控制输入切换项，可以实现故障的在线重构。该方法一经Edwards等[2]提出便迅速在线性系统及非线性系统中得到广泛应用。当系统存在干扰及噪声等不确定性时，故障重构信号只能当作故障信号的估计值，观测器中的切换控制项仅能维持输出误差的滑模运动，而无法消除不确定项对重构值的影响，因此开展区分故障与干扰的鲁棒故障重构问题研究十分必要。考虑系统的非线性特性会使鲁棒故障重构问题变得更加复杂，一方面，如何设计滑模观测器，使得在非线性特性的影响下，状态估计误差能够快速有界稳定；另一方面，如何确保滑模运动能克服未知的故障及干扰项影响，在有限时间内快速到达并维持在滑模面，从而保证故障重构的精确性。另外，实际系统可能存在观测器匹配条件不满足、一阶滑模抖振易造成故障误判漏判、多故障同时发生及输出干扰影响等情形，因而研究基于滑模观测器的鲁棒故障重构技术成为近年来的难点问题。
本章首先回顾滑模变结构控制基本原理，介绍状态观测器的基本概念，在此基础之上，重点分析两种典型线性滑模故障重构观测器，即Utkin滑模观测器及Walcott-Zak滑模观测器，此外，对于含不确定项的线性系统，基于线性矩阵不等式（linear matrix inequality，LMI），给出线性滑模故障重构观测器设计方法，为后续介绍非线性系统滑模故障重构观测器设计方法打下理论基础。
1.1 滑模变结构控制基本理论
作为一种非线性控制设计方法，变结构控制一经Emelyanov提出便迅速得到广泛关注，成为控制科学中的重要分支，被大量应用于工程领域[3，4]。一般而言，变结构控制系统从形式上主要分两种：一种不包含滑动模态；另一种包含滑动模态。常规的变结构控制一般是指包含滑模模态的这一类控制，称为滑模变结构控制。本书的观测器设计和一些容错控制方法主要是基于滑模控制展开的，为此本节将详细介绍滑模的一些理论基础。
1.1.1 滑模控制基本原理
对于如下形式的非线性系统：
（1.1）
其中，为系统的状态向量；为系统的控制输入；和为对应维数的向量函数。滑模变结构控制是通过设计控制输入，确保以下三个条件成立：
（1）从任意初始位置开始的滑模运动均能到达滑模面上；
（2）在滑模运动到达滑模面后，系统状态向着平衡点运动；
（3）当滑模运动穿过滑模面时，系统控制输入改变符号，确保滑模运动能够到达滑模面。
1.滑模面设计方法
通过选取和设计合适的滑模面，可以保证滑模控制良好的控制性能。一般而言，滑模面的设计方法包括最优控制法、几何法、特征结构分配法及Lyapunov方程等，出现了线性滑模、终端滑模、积分滑模等多种滑模面设计方法，下面将主要介绍本书用到的几种。
1）线性滑模
由系统状态的线性组合构成的滑模面称为线性滑模面，表达形式如下所示：
（1.2）
其中，为状态向量，且满足。按照式（1.2）可以定义常值对角矩阵，则由矩阵元素构成的多项式是赫尔维茨（Hurwitz）稳定的，其中为拉普拉斯算子。
按照式（1.2）设计滑模面，通过设计矩阵可以决定滑模运动渐近收敛到滑模面及平衡点的速度，但同时可知，采用任何的设计方案，都无法使系统状态在有限时间内收敛到零[4]，这也是线性滑模难以应用到精度要求较高的非线性系统的主要原因。
2）终端滑模
为确保进入滑模运动的系统状态能够及时收敛到平衡点，将分数阶非线性函数引入滑模面的设计中，产生了终端滑模面。按照文献[4]所述，给出一类终端滑模面如下所示：
（1.3）
其中，为系统的状态向量；；及均是待设计的正奇数，并有。
当系统的滑模运动到达滑模面时，有式（1.4）成立：
（1.4）
通过求解式（1.4），便可得出系统从任何初始位置到达平衡点的时间，如式（1.5）所示：
（1.5）
滑模面中非线性项的引入，能够确保系统状态在有限时间内收敛到平衡点，且离平衡点越近，收敛速度越快，但是在远离平衡点时，收敛速度反而比线性滑模慢，并且在解算控制输入时存在奇异点，这是终端滑模的一个严重不足，为此有学者提出了非奇异终端滑模。
3）非奇异终端滑模
非奇异终端滑模面的表达形式如下所示：
（1.6）
其中，为系统状态变量；；和为待设计的正奇数，并有。
令，解算式（1.6），便可得出系统从任何初始位置到达平衡点的时间，如式（1.7）所示：
（1.7）
这样，按照式（1.6）设计的非奇异终端滑模，既可确保系统状态能及时收敛到平衡点，又避免了控制输入解算时的奇异点，具有比线性及终端滑模更优越的性能。
2.滑动模态的到达条件
滑模变结构控制的一个关键问题是，设计合适的控制输入，确保滑模运动能够到达滑模超平面。滑模可达性的充分条件可表示为
（1.8）
若式（1.8）成立，表明任意状态初始点均可向滑模面收敛。此外式（1.8）也可写成一种李雅普诺夫函数的形式，如式（1.9）所示：
（1.9）
其中，为选定的李雅普诺夫（Lyapunov）函数。另外式（1.8）只能保证滑模运动渐近收敛到滑模面，即时，滑模，为确保滑模运动在有限时间内到达滑模面，进一步将滑模的到达条件写为[4]
（1.10）
其中，为设计参数，在这一条件下，即可确保系统状态在有限时间内收敛到滑模面。
1.1.2 等效控制与滑动模态方程
针对研究的系统（1.1），假设构造合适的控制输入，使得系统状态能够收敛到滑模面，此时，于是有
（1.11）
从式（1.11）解算求得系统的控制输入，称为等效控制。进一步，若的逆存在，则由式（1.11）求得系统的等效控制量为
（1.12）
将式（1.12）代入式（1.1），得到滑动模态方程为
（1.13）
式（1.13）所描述的微分方程，只要满足一定条件，就能使方程有唯一解。另外，一般的滑模控制律可分为两部分，如式（1.14）所示：
（1.14）
其中，为等效控制量；为克服不确定性而设计的切换控制量。
1.1.3 滑动模态的不变性
采用滑模控制实现的系统状态运动过程可以分为趋近态和滑动态两种。当滑模运动到滑模面后，系统状态不再受外界扰动等不确定项的影响，维持在滑模面并收敛至平衡点，这就是滑模重要的“不变性”，下面将进一步阐述这种不变性需要满足的条件。
考虑系统（1.1）受不确定性及外扰影响，于是有以下状态方程：
（1.15）
其中，、表示不确定性；表示外扰；为引起系统变化的不确定参数。设计滑模面为，于是有
（1.16）
假设的逆存在，则当系统状态收敛到滑模面时，可以得到系统等效控制量的表达式如下所示：
（1.17）
将式（1.17）代入式（1.15），有
（1.18）
当存在、、，使得
（1.19）
成立时，式（1.19）称为滑模的匹配条件，此时将式（1.19）代入滑模方程可得
（1.20）
由式（1.20）可以看出，系统的状态变化不受未知不确定性影响，表明当满足式（1.19）条件时，系统的滑模运动保证了不变性。
进一步，滑模的匹配条件（1.19）也可用秩条件表示[4]，即
（1.21）
1.1.4 抖振问题
滑模控制对系统的参数变化和干扰等有较强的鲁棒性，但要求控制输入的高频切换保持理想特性，实际系统通常达不到这种要求，因此产生了一阶滑模的抖振问题。本书以一个数值仿真算例说明滑模的抖振问题。
对于如式（1.22）所示的非线性系统：
（1.22）
设计控制输入函数（），设在下列直线上改变系统结构：。其中的大小选择要适当，使得位于轴和时抛物线的渐近线之间，如果采用如式（1.23）所示的控制结构设计策略：
（1.23）
此时系统的相轨迹示于图1.1。
