第1章前景理论下的离散时间投资组合优化
　　1.1背景介绍
　　作为一个新的研究范式，行为金融（behavioral finance)最本质的特征是应用心理学的发现去诊断人们的投资决策过程。然而，这些相关应用在投资决策领域，特别是动态投资组合优化领域，仍然处于初级阶段。期望效用理论（expected utility theory，EUT)框架下的经典投资组合优化模型在数学上对应的是一个容易处理的凸优化问题，建立在卡内曼和特沃斯基的前景理论（prospect theory，PT)基础上的行为投资组合优化模型则常常变成一个非凸的（non-convex)或者时间不一致的(time inconsistent)优化问题。因此，如何恰当地把行为金融领域的新发现应用到实际的资产组合选择中仍然是个难题。本书的目标正是推动这一理论在实践中的应用：本书首先把投资者的心理特征建模到一个标准动态投资组合模型中，然后，在由模型推导出来的最优投资策略中找出这些新特征带来的影响。
　　基于冯 诺伊曼和莫根施特的期望效用理论，新古典主义下的投资组合选择问题一直以期望效用最大化为中心，这反过来又基于决策者在面对不确定性时是理性的和风险规避的假设。然而，越来越多的证据表明理性假设往往不能很好地描述现实中的投资决策行为。Kahneman和TVersky(1979)的前景理论利用认知心理特征，将有限理性的人类行为纳入经济金融决策之中。在金融资产配置的应用场景下，PT模型的四个关键要素分别是：①人们根据相对损失/盈利（参考点依赖），而不是绝对损益来评估资产；②因损失而遭受的痛苦程度大于因同样程度的盈利获得的幸福程度（损失厌恶)；③人们对于盈利有风险厌恶倾向，但在面对损失时有风险喜好倾向（S型价值函数)；④人们倾向于夸大小概率事件（反S型的概率扭曲函数）。数学上来说，这些要素共同产生了一个S型价值函数（半凸半凹）和反S型（时间不一致）的概率扭曲函数。这些新特征反过来又使得新古典金融中求解动态期望效用模型的两种主要方法（凸对偶性和动态规划）遭遇了失败。
　　本章旨在建立一个离散时间设定下的行为投资组合优化模型，该模型既包含了前景理论中揭示的投资者的显著行为特征，又包含了一般情况下的市场不完全性。Bernard和Ghossoub(2010)，He和Zhou(2011)以及Pirvu和Schulze(2012)的研究工作激发了本书对前景理论下的离散时间行为投资组合优化的研究兴趣。虽然这三篇论文都讨论了PT型投资者的单期最优投资组合选择问题，但目前的文献缺乏关于前景理论下多期投资问题的结果。本章推导了一个PT型投资者的多期投资组合选择问题的显式投资策略，该策略允许在投资过程中进行资产重新配置，从而提供了一个比静态策略（购买并持有策略）更现实的策略。
　　Barberis和Huang(2009)考虑了一个简单框架的多期问题，采用了分片线性效用函数，这实际上是凹效用的一种特例。本书考虑一个S型效用（部分是凹函数，部分是凸函数)。从数学上讲，本书处理的是一个不完全市场下的多期非凸目标最大化问题。DeGiorgi和Legg(2012)扩展了Barberis和Huang(2009)的框架以包含概率扭曲和S型效用。他们的论文与本书的研究之间的区别如下：De Giorgi和Legg(2012)为分片线性效用和概率扭曲提供了一个易于处理的解析解。他们主要通过模拟来解决S型效用和概率扭曲的问题。然而，本章研究为无概率扭曲的S型效用提供了一个容易分析处理的解析解。
　　除了离散时间模型，文献中还有很多在完全市场假设和连续时间框架下的行为投资组合选择模型的研究工作（Berkelaar et al.，2004；Jin and Zhou，2008；Barberis and Xiong，2009)。当市场完全时，Cox和
　　1.1背景介绍
　　Huang(1989)证明了通过鞅方法可以将动态优化问题简化为静态问题。然而，本章考虑了一个多期的投资组合选择问题，它通常与一个不完全的市场有关，从而使鞅方法失效。
　　如前所述，行为投资组合模型很容易不适定。He和Zhou(2011)引入了一种针对极端损益的损失厌恶的测度，并给出了单期问题适定应满足的显式条件。本章遵循He和Zhmi(2011)的思想，并将其扩展到多期投资组合选择模型。更具体地，本书首先为每个时间段引入一个诱导出的损失厌恶测度（induced loss aversion)，然后给出每个时间段对应的临界阈值。在给定的时间段内，当诱导出的损失厌恶测度超过临界阈值水平时，问题是适定的；否则，它就是不适定的。本书的一个重要发现是诱导出的损失厌恶测度的单调性：时间段越早，该时期的诱导损失厌恶程度越低。这个观察能部分地解释尚处于争论中的期限效应（horizon effect)o此外，当问题适定时，本书推导了半显式最优投资策略，并证明了该最优行为投资组合策略仍然采用（分片）线性反馈形式。
　　对于经典的凹效用最大化问题，Bertsekas(1987)给出了凹效用函数的一个充分条件，在该条件下，最优投资组合对状态变量（当前财富水平）应采取线性反馈形式。本章通过重新定义财富水平对参考水平的偏离作为新的状态变量，将Bertsekas(1987)的结果扩展到S型价值函数（部分凹，部分凸）最大化问题。这个状态变量的新定义与前景理论的关键思想是一致的，即效用的载体是财富水平对参考水平的偏离，而不是绝对财富水平。特别地，本书确定了两种可解的情况：一种是只有一种风险资产的市场，另一种是服从椭圆分布的多个风险资产的市场。在这些可解情况下，最优投资组合对于新的状态变量（偏差）仍然采用分片线性反馈形式。
　　Pirvu和Schulze(2012)激发了本书对多元椭圆分布情况下的显式推导。在单期设定下，Pirvu和Schulze(2012)提出了无风险资产和均值-方差投资组合之间的两基金分离。本章将两基金分离的结果推广到多期设定，并发现了在椭圆分布下的半显式最优投资策略的更多结构。Levy等（2012)利用一阶随机占优（first-degree stochastic dominance，FSD)和前景随机占优（prospect stochastic dominance，PSD)讨论，证明了分离定理在CPT(cumulative prospect theory，累积前景理论）框架中是完整的。相比之下，本书通过明确求解多期投资组合优化问题，直接展示了两基金分离的结果。
　　本书进行了进一步的数值分析，研究了推导出的PT型投资者最优策略的性质。除了最优策略的分片线性反馈形式，本书还发现，当股票市场逐渐好转（或变坏）时，最优股票持有量的绝对水平会增加（或减少）。换句话说，当股市变得更好（或更糟）时，PT型投资者将会增加(或减少）他们的股票持有头寸。此外，如果本书假设股票回报在不同时期是独立同分布（independent identically distributed，i.i.d.)的，则PT型投资者倾向于在初期持有极端头寸，并在后期根据分片线性反馈策略略微调整头寸。
　　本章的其余部分组织如下。1.2节建立具有S型价值函数的行为多期投资组合优化模型。1.3节和1.4节提出两个可解的情况：一种情况是只有一种风险资产的市场；另一种是具有椭圆分布的多个风险资产的市场。本书首先讨论不适定问题，并确定多期框架下适定的条件。在这些适定条件下，本书分别推导两种解析可解情况下的半显式最优策略。1.5节给出一些数值结果，1.6节进行总结。
　　1.2模型设定
　　本书首先定义市场环境和相应的多期投资问题。研究的资本市场由1个具有确定性回报率的无风险资产和具有随机回报率的n个风险资产和组成。第t期无风险资产收益率的确定收益率用r{>0表示，第t期第i项风险资产的回报率用4表示，i从1到n。因此，股票超额收益率的向量是一个n维随机向量，即，其中的第i个元素是全一向量为了方便起见，本书进一步定义设置为1。
　　具有初始财富Wo的PT型投资者在时刻0进入市场，并在n+1种资产中分配他的财富。他可以在以下每个T-1连续时间段起始，即时，在这n+1种资产中重新分配他的财富。设呎为第t期开始时投资者的财富，ut是第t期开始时n个风险资产投资金额的向量。则第t期开始时投资于无风险资产的金额等于（恥=本书考虑一个无摩擦市场，对股票头寸没有限制，即这意味着允许做空。事实上，本章的主要结果也适用于不允许卖空的情况。但受限于篇幅，本章不做细致讨论。
　　PT型投资者最大化的目标，S型价值函数包含一个任意的（但确定性的）参考水平，用S表示。它在终端时刻r把待评估的收益与损失分开。终端财富与参考水平的偏差为
　　(1.1)
　　(1.2)
　　F(.)是Wr的累积分布函数（cumulative distribution function，CDF)。现在正式给出离散时间多期框架下期望S型价值函数最大化问题的表达式：
　　(1.3)
　　上述模型没有包含前景理论的另一个特征-------概率扭曲（probability weighting)，因为本章的主要目的是研究损失厌恶（loss aversion)和敏感性递减（diminishing sensitivity)对投资组合选择的影响。
　　前景理论的一个重要特征是，用财富水平相对参考水平的偏差而不是绝对财富水平作为效用的载体。基于这种认知，本书将状态变量定义为讲，而不是通常选择的，T。新的状态变量yt的变化如下：
　　(1.4)
　　进一步，本书可以将S型价值函数改写为状态变量的函数，值得注意的是，新的状态变量被参考水平划分为两种不同的状态：正状态、或负状态(yt<0)。正状态对应收益位置（gain position)，负状态对应损失位置（loss position)。不难想象，处于收益位置的投资者与处于损失位置的投资者可能持有不同的风险态度，因此，他们可能采取不同的策略。下面推导出的分片线性反馈策略进一步证实了这一猜想。