《扩散方程计算方法》介绍扩散方程的计算方法，重点介绍作者近十年来取得的研究进展。内容包括:扩散方程几类常见的有限体积格式；扭曲网格上具有保正性和保持离散极值原理的有限体积格式；非线性迭代方法和并行计算格式等。

第1章 扩散方程的有限体积格式简介
本章简要介绍几种常用的有限体积格式，包括可允许网格上的有限体积格式、多点通量逼近方法、支撑算子方法、菱形格式和非线性格式等。
1.1 可允许网格上的有限体积格式
下面介绍可允许网格上的离散格式。
首先给出可允许网格的定义。
定义1.1.1(可允许网格) Ω为R2的有界多边形区域。Ω的可允许有限体积网格为三元族(T;E;P)，其中T为一族“控制体积”，它们是Ω中有限个凸多边形，E为R2上一族包含于Ω中的线段，P为Ω中的一族点。
(T;E;P)具有如下性质:
从直观上来说，可允许网格是这样一种网格剖分，其相邻单元中心连线与公共边垂直。
例如Vorono网格就是一种可允许网格。
对二维四边形网格，J由6个单元的标号组成，见图1.1。所得的方法称为多点通量逼近方法[2]。
下面考虑表达式(1.4)中的传递系数的计算。
考虑图1.1中由实线所示的网格。假设扩散系数在每个单元(控制体)上为常数，u的值定义在单元中心。通过连接单元中心和单元边的中点，可以得到一个对偶网格，见图1.1中虚线所示的网格。有时为了区别起见将实线所示的网格称为主网格或基本网格。对偶网格称为相互影响区域。在二维情况，对偶网格将网格边分为两部分，每一个部分称为子边。
多点通量逼近方法就是使得相互影响区域中的单元之间的局部影响决定所有子边的传递系数。一旦所有子边上的传递系数都被确定，则可以通过组合子边的贡献而得到单元边上的传递系数。对图1.2所示的四边形网格，子边PQ和QR构成单元边PR。一个单元边的传递系数来源于两个相邻的相互影响区域的贡献。
在一个相互影响区域内，有以下条件成立:越过子边的温度和通量连续。
假设在相互影响区域的每个单元上温度可通过线性函数描述。然而，不可能要求温度和通量在相互影响区域的所有子边上连续。例如，在4个单元中分别对温度作线性近似，将导致4￡3=12个自由度。在4条子边上的通量连续将给出4个条件，在每条子边上的温度连续条件将给出8个条件。另外，线性函数必须考虑单元中心值，这又将给出4个条件。因此，总共有16个条件和12个自由度。为此，只要求温度在每条边的中点连续。在图1.3中，边中点是指点A，B，C和D。从而对12个自由度只有12个条件。以上给出的方法称为O方法。还可以选择其他的连续性条件以及其他的连续点。
图1.3相互影响区域(单元中心为1，2，3，4，边中点为A;B;C;D)
注意到传递系数仅仅依赖于网格几何和扩散系数，从而传递系数的计算可以作为一个预处理提前计算。
需要计算梯度rUj和法向量ni，该法向量的长度为所在子边的长度。
在每个单元j上，假定温度Uj为线性函数，从而可以写成
Uj(x)=rUj￠(x.xj0)+uj0;(1.6)
其中uj0是在单元j0的中心xj0处的值。梯度可以方便地由单元j的子边上的连续点1xjk上的温度的值决定。连续点和单元中心如图1.4所示。
1.2多点通量逼近方法
下面给出二维情形的连续性条件。如图1.3所示，在相互影响区域有4个单元，4条子边。要求温度u在点A，B，C，D连续，并记u(A)=1u1，u(B)=1u2，u(C)=1u3，u(D)=1u4。单元j的单元中心值记为uj(16j64)。对每个子边OA，OB，OC和OD，利用方程(1.10)及以上单元中心值和单元边中点值的记号，4条子边上的通量连续条件可写为
下面将用单元中心值u=[u1;u2;u3;u4]T来表示单元边中点处的值v=[1u1，1u2，1u3，1u4]T。方程(1.12)中每个等式的左右两边分别给出了子边上的法向通量。例如，左边能写成Cv.Du，其中C和D为4￡4的矩阵。从而可以得到通过4条子边的通量

 第1章 扩散方程的有限体积格式简介 1
1.1可允许网格上的有限体积格式 1
1.2多点通量逼近方法 2
1.3支撑算子方法 7
1.3.1局部支撑算子方法 7
1.3.2有通量表达式的支撑算子方法 10
1.4菱形格式 13
1.5非线性格式 18
1.6格式构造思路 20
第2章 网格节点加权平均九点格式 23
2.1九点格式的推导 23
2.2一般扩散方程的九点格式 26
2.3网格节点值的计算公式 28
2.3.1光滑系数问题 28
2.3.2间断系数问题 29
2.4九点格式的切向差计算 35
2.4.1九点格式切向差计算的基本思想 35
2.4.2加权系数的计算公式 36
2.4.3严重扭曲情形 38
2.4.4自适应方法 40
2.5九点格式的理论结果 41
2.5.1稳定性分析 42
2.5.2收敛性分析 44
2.6非定常扩散方程的九点格式 45
2.7数值算例 47
2.7.1各向异性光滑系数问题 47
2.7.2间断系数问题 48
2.7.3自适应切向差格式算例 49
第3章 单元中心-节点型格式 53
3.1光滑系数问题的格式构造 53
3.2格式的收敛性 57
3.3非定常扩散方程的格式 60
3.4间断系数问题的格式 62
3.5解耦格式 66
3.5.1基本网格上的格式 66
3.5.2节点未知量的计算方法 68
3.5.3格式的收敛性 72
3.6数值算例 72
3.6.1光滑系数问题 72
3.6.2间断系数问题 73
3.6.3解耦格式的数值结果 74
3.6.4线性抛物问题 75
第4章 非匹配网格上的守恒格式 76
4.1构造格式的一般方法 76
4.2非匹配网格边上辅助未知量的重构 78
4.2.1自适应模板方法 78
4.2.2通量平衡点方法 80
4.2.3切向导数的近似 81
4.3非匹配网格节点处辅助未知量的重构 82
4.3.1悬点处未知量的重构 82
4.3.2简单加权平均法 85
4.3.3最小二乘法 85
4.4数值算例 86
4.4.1光滑各向异性问题 87
4.4.2垂直断层问题 88
4.4.3常系数及间断系数问题 89
4.4.4间断各向异性问题 91
第5章 守恒的非负性修正方法 94
5.1非负性修正方法一 94
5.1.1任意多边形网格上的菱形格式 94
5.1.2Picard迭代方法 96
5.1.3保持局部守恒的强制数值解非负的算法 96
5.1.4初始迭代步的值 99
5.1.5非负性算法的计算流程 99
5.2非负性修正方法二 99
5.2.1守恒的遇负置零算法 100
5.2.2GCENZ算法的精度分析 102
5.2.3GCENZ算法的流程 103
5.3非负性修正方法三 104
5.3.1结构网格剖分计算区域 104
5.3.2一维情形的修补方法 105
5.3.3两维情形的修正方法 107
5.3.4算法的执行步骤 108
5.4数值算例 109
第6章 保正格式 116
6.1自适应节点型保正格式 116
6.1.1问题与记号 116
6.1.2格式构造 117
6.1.3Robin边界条件 121
6.1.4特殊情形 123
6.1.5离散系统 125
6.1.6保正性 126
6.2自适应边中点型保正格式 127
6.3模板固定型保正格式 130
6.3.1多边形网格上的格式 130
6.3.2四边形网格上的格式 133
6.4完全保正格式 136
6.4.1格式构造 136
6.4.2边中点未知量的消去方法 137
6.4.3节点未知量的消去方法 138
6.4.4迭代求解方法 142
6.5边中点未知量的消去方法 142
6.6数值算例 145
6.6.1精度 145
6.6.2保正性 148
6.6.3强间断全张量问题 149
第7章 保持离散极值原理的格式 151
7.1自适应保极值原理格式 151
7.1.1单边法向通量 151
7.1.2守恒法向通量 153
7.1.3格式及其求解方法 159
7.2极值原理和存在性 160
7.2.1极值原理 160
7.2.2存在性 161
7.3数值算例 163
7.3.1极值原理 163
7.3.2精度 165
第8章 非线性迭代方法 167
8.1Picard迭代 167
8.2Picard-Newton迭代 170
8.2.1迭代格式设计 170
8.2.2理论分析 172
8.2.3Picard-Newton方法与Newton方法的区别 181
8.3时间步长控制 184
8.4数值算例 186
8.4.1△u/u方法的结果 188
8.4.2CFL方法的结果 191
8.4.3无导数的Picard-Newton迭代方法 193
第9章 线性问题的并行差分格式 195
9.1DFF-Ⅰ并行格式的稳定性 195
9.1.1稳定性的概念 195
9.1.2DFF-Ⅰ并行差分格式的稳定性分析 196
9.2抛物型方程移动界面的并行差分格式 201
9.2.1并行格式1 202
9.2.2并行格式2 202
9.3一维二阶精度无条件稳定格式的构造 203
9.3.1并行格式3 204
9.3.2并行格式4 205
9.4一维格式的理论分析 206
9.4.1格式的稳定性 206
9.4.2格式的收敛性 210
9.5二维二阶精度无条件稳定格式的构造 212
9.5.1并行格式5 213
9.5.2并行格式6 215
9.6二维格式的理论分析 217
9.6.1格式的稳定性 217
9.6.2格式的收敛性 221
9.7数值算例 224
9.7.1DFF-Ⅰ格式的算例 224
9.7.2移动界面并行格式的算例 226
9.7.3并行格式3的算例 227
9.7.4并行格式5的算例 228
第10章 非线性问题的并行格式 230
10.1方程和记号 230
10.2并行格式的构造 231
10.3先验估计、存在性与收敛性 234
10.4稳定性和唯一性 237
10.5数值算例 239
第11章 守恒型并行离散格式 242
11.1一维守恒型并行格式 242
11.1.1基于界面显式通量的守恒并行格式 243
11.1.2基于界面预估的守恒型并行格式 243
11.1.3基于界面守恒修正的并行格式 249
11.1.4第二种界面守恒修正方式 253
11.1.5非线性并行迭代格式 254
11.1.6守恒型并行迭代格式 255
11.1.7基于界面守恒修正的并行迭代格式 256
11.2二维守恒型并行格式的设计方法 258
11.2.1九点格式及其迭代方法 260
11.2.2守恒型并行迭代算法 262
11.2.3在内界面处采用Dirichlet边界条件 263
11.2.4在内界面处采用Neumann边界条件 264
11.2.5守恒型并行算法步骤 264
11.3数值算例 265
11.3.1守恒型并行格式的算例 265
11.3.2守恒并行九点格式的算例 266
参考文献 269
索引 273
《信息与计算科学丛书》已出版书目 274