第1章群的基本概念
群论是研究系统对称性质的有力工具.本章首先从系统对称性质的研究中概括出群的基本概念，通过一些简单的和物理中常见的群的例子，使读者对群有较具体的认识；然后，引入群的各种子集的概念、群的同构与同态的概念和群的直接乘积的概念.对有限群来说，群的全部性质都体现在群的乘法表中.我们将介绍填写群乘法表的方法和如何由群的乘法表来分析有限群性质.
1.1对称
对称是一个人们十分熟悉的用语.世界处在既对称又不严格对称的矛盾统一之中.房屋布局的对称给人一种舒服的感觉，但过分的严格对称又会给人死板的感觉.科学理论的和谐美，其中很大程度上表现为对称的美.在现代科学研究中，对称性的研究起着越来越重要的作用.
我们常说，斜三角形很不对称，等腰三角形比较对称，正三角形对称多了，圆比它们都更对称.但是，对称性的高低究竟是如何描写的呢？
对称的概念是和变换密切联系在一起的，所谓系统的对称性就是指它对某种变换保持不变的性质.保持系统不变的变换越多，系统的对称性就越高.只有恒等变换，也就是不变的变换，才保持斜三角形不变.等腰三角形对底边的垂直平分面反射保持不变，而正三角形对三边的垂直平分面反射都保持不变，还对通过中心垂直三角形所在平面的轴转动±2jt/3角的变换保持不变.圆对任一直径的垂直平分面的反射都保持不变，也对通过圆心垂直圆所在平面的轴转动任何角度的变换保持不变.因为保持圆不变的变换最多，所以它的对称性最高.
量子系统的物理特征由系统的哈密顿量(Hamiltonian)决定，量子系统的对称性则由保持系统哈密顿量不变的变换集合来描写.例如，N个粒子构成的孤立系统的哈密顿量为n
其中，rj和mj是第j个粒子的坐标矢量和质量，V]是关于rj的拉普拉斯(Lap¬lace)算符，U是两个粒子间的二体相互作用势，它只是粒子间距离的函数.拉普拉斯算符是对坐标分量的二阶微商之和，它对系统平移、转动和反演都保持不变.作用势只依赖于粒子间的相对坐标绝对值，也对这些变换保持不变.若粒子是全同粒子，哈密顿量还对粒子间的任意置换保持不变.这个量子系统的对称性质就用系统对这些变换的不变性来描述。
保持系统不变的变换称为系统的对称变换，对称变换的集合描写系统的全部对称性质.根据系统的对称性质，通过群论方法研究，可以直接得到许多精确的、与细节无关的重要性质.我们还没有学习群论方法，还无法用群论方法对系统的复杂对称性质进行研究，但为了使读者对群论方法有一个直观的了解，下面举一个简单例子说明群论方法的基本思路.
研究一个具有空间反演对称性的量子系统.系统哈密顿量对空间反演变换保持不变，因而哈密顿量的本征函数斗通过空间反演，仍是哈密顿量同一本征值的本征函数.用P代表在空间反演下波函数的变换算符
则对哈密顿量，寸和P寸有相同的本征值，而且由于哈密顿量是线性算符，畛和作的任何线性组合仍有相同的本征值.取如下组合
在空间反演中按式（1.1)变换的波函数这一简单例子说明，尽管系统哈密顿量可能很复杂，薛定谔方程难以精确求解，但从研究系统的对称性质着手，可以得到系统某些精确的与细节无关的重要性质(例如，根据对称性，可确定系统的守恒量)，可对系统的定态波函数进行分类，并可得出精确的跃迁选择定则.
1.2群及其乘法表
保持系统不变的变换称为系统的对称变换，系统的对称性质由对称变换的集合来描写.我们先来研究系统对称变换集合的一般性质.按照物理中的惯例，两个变换的乘积RS定义为相继做两次变换，即先做S变换，再做R变换.显然，两个对称变换的乘积仍是系统的对称变换，三个对称变换的乘积满足结合律.不变的变换，即恒等变换E也是一个对称变换，它与任何一个对称变换R的乘积仍是该变换R.对称变换的逆变换也是系统的一个对称变换.上述性质是系统对称变换集合的共同的性质，与系统的具体性质无关.把对称变换集合的这些共同性质归纳出来，得到群（group)的定义.
定义1.1在规定了元素的“乘积”法则后，元素的集合G如果满足下面四个条件，则称为群.
(1)集合对乘积的封闭性_集合中任意两元素的乘积仍属此集合：
(2)乘积满足结合律：
(3)集合中存在恒元E，用它左乘集合中的任意元素，保持该元素不变：
(4)任何元素R的逆R-1存在于集合中，满足
作为数学中群的定义，群的元素可以是任何客体，元素的乘积法则也可任意规定.一旦确定了元素的集合和元素的乘积规则，满足上述四个条件的集合就称为群.系统对称变换的集合，对于变换的乘积规则，满足群的四个条件，因而构成群，称为系统的对称变换群.在物理中常见的群大多是线性变换群、线性算符群或矩阵群.如果没有特别说明，当元素是线性变换或线性算符时，元素的乘积规则都定义为相继做两次变换；当元素是矩阵时，元素的乘积则取通常的矩阵乘积.
在群的定义中，群元素是什么客体并不重要，重要的是它们的乘积规则，也就是它们以什么方式构成群.如果两个群，它们的元素之间可用某种适当给定的方式一一对应起来，而且元素的乘积仍以此同一方式一一对应（常称对应关系对元素乘积保持不变)，那么，从群论观点看，这两个群完全相同.具有这种对应关系的两个群称为同构（isomorphism).
定义1.2若群G'和G的所有元素间都按某种规则存在一一对应关系，它们的乘积也按同一规则一一对应，则称两群同构.用符号表示，若i?和SeG，纪和S7eG'，R'<~>R，S'<~S，必有R'S'<~RS，则G'《G，其中符号“<~”代表一一对应，“《”代表同构.
互相同构的群，它们群的性质完全相同.研究清楚一个群的性质，也就了解了所有与它同构的群的性质.在群同构的定义里，元素之间的对应规则没有什么限制.但如果选择的规则不适当，使元素的乘积不再按此规则一一对应，并不等于说，这两个群就不同构.只要对某一种对应规则，两个群符合群同构的定义，它们就是同构的.
从群的定义出发，可以证明，恒元和逆元也满足
第二个式子表明元素与其逆元是相互的.由此易证群中恒元是唯一的，即若苽只=R，则E，=E.群中任一元素的逆元是唯一的，即若SR=E，则S二R-1.于是，恒元的逆元是恒元，且{RSr1=S-^R-K作为逻辑练习，习题第1题让读者证明这些结论.证明中除了群的定义外，不能用以前熟悉的任何运算规则，因为它们不一定适合群元素的运算.下面我们认为这些结论已经证明，可以应用了.
一般说来，群元素乘积不能对易，RS+SR.元素乘积都可以对易的群称为阿贝尔（Abel)群.若群中至少有一对元素的乘积不能对易，就称为非阿贝尔群.元素数目有限的群称为有限群，元素的数目g称为有限群的阶（order).元素数目无限的群称为无限群，如果无限群的元素可用一组连续变化的参数描写，则称为连续群.
把群的子集，即群中部分元素的集合n^{RuR2， ，Rm}，看成一个整体，称为复元素.作为集合，复元素不关心所包含元素的排列次序，且重复的元素只取一次.两复元素相等，即兄=的充要条件是它们包含的元素相同，即兄c《S和San.普通元素和复元素相乘仍是复元素.th是由元素TRj的集合构成的复元素，而UT则由元素RjT的集合构成.设5={5i，S2， ，5„}，两复元素的乘积US是所有形如RjSk的元素集合构成的复元素.上面出现的元素乘积，如TRhRiT和喻，均按群元素的乘积规则相乘.复元素的乘积满足结合律.如果复元素的集合，按照复元素的乘积规则，符合群的四个条件，也可构成群.
定理1.1(重排定理）设T是群G={E，E，S， }中的任一确定元素，则下面三个集合与原群G相同：
用复元素符号表达为
证明以TG=G为例证明.集合TG的所有元素都是群G的元素，故TGcG.反之，群G的任意元素R都可表成R=TiT^R)，而（T-W)是群G的元素，故R属于rG，GcTG.证完.
对于有限群，群元素数目有限，因此有可能把元素的乘积全部排列出来，构成一个表，称为群的乘法表(multiplicationtable)，简称群表.为了确定起见，对于RS=T，今后称R为左乘元素，S为右乘元素，而T为乘积元素.乘法表由下法建立：在表的最左面一列，把全部群元素列出来，作为左乘元素，在表的最上面一行，也把全部群元素列出来，作为右乘元素，元素的排列次序可以任意选定，但常让左乘元素和右乘元素的排列次序相同，恒元排在第一位.表的内容有SxS格，每一格填入它所在行最左面一列的元素R(左乘元素）和它所在列最上面一行的元素S(右乘元素）的乘积RS.如果恒元排在表中第一个位置，因它与任何元素相乘还是该元素，故乘法表内容中第一行和右乘元素相同，第一列和左乘元素相同.由重排定理，乘法表乘积元素中每一行（或列）都不会有重复元素.乘法表完全描写了有限群的性质•
对两个阶数相同的有限群，当把群元素分别按一定次序列在乘法表上时，实际上已给出了它们元素之间的一种一一对应关系.如果在此对应下，它们的乘法表完全相同，则此两群同构.当然，如果由于群元素排列次序选得不适当，本来同构的群也可能看起来似乎有不同的乘法表.当阶数确定后，重排定理大大限制了互相不同构的有限群数目.例如，以后我们将证明，阶数为相同素数的有限群都同构.
我们先来看二阶群和三阶群的乘法表.当把第一列和第一行按左乘元素和右乘元素填完后，重排定理已完全确定了表中剩余位置的填充，如表1.1和表1.2所示.
表1.1二阶群的乘法表
表1.2三阶群的乘法表
在二阶群中，可让e代表恒等变换，a代表空间反演变换，则此群正是对空间反演不变的系统的对称变换群，常记为V2.也可让e代表数1，a代表数-1，按普通的数乘积，它们也构成二阶群，记为C2.这两群是同构的，V2《C2，从群论观点看它们完全相同.三阶群中，可设e=1，w=exp(-i2jt/3)和c/=exp(i2jt/3)，按复数的乘积，它们构成三阶群，记为C3.
这两个例子有一个共同的特点，就是群中所有元素都可由其中一个元素的幂次来表达.二阶群中，e=a2；三阶群中，o/=w2，e=oA推而广之，由一个元素R及其幂次构成的有限群称为由R生成的循环群，N是循环群的阶，R称为循环群的生成元.N阶循环群的一般形式是
循环群中元素乘积可以对易，因而循环群是阿贝尔群.循环群生成元的选择不是唯
一的.例如，三阶循环群中W和0/都可作为生成元.循环群的乘法表有共同的特点，当表中元素按生成元的幂次排列时，表的每一行都可由前一行向左移动一格得到，而最左面的元素移到最右面去.
循环群的一个典型例子是由绕空间固定轴转动变换构成的群.按右手螺旋法则，绕轴的正向旋转2n/N角的转动记为Cn.由CN生成的循环群，记为CN.此轴常称为N次固有转动轴，简称N次轴，CN称为N次固有转动，简称N次转动.对二次轴不必规定轴的正向，因为Ch=C^\N次转动和空间反演a的乘积记为SN，SN=aCN=CNa，称为N次非固有转动.由SN生成的循环群记为有时也记为SN，它的阶数g根据N是偶数或奇数，分别是N或2N.此转动轴称为N次非固有转动轴.
既然有限群的元素数目是有限的，那么有限群任一元素的自乘，当幂次足够高时必然会有重复.由群中恒元唯一性知，有限群任一元素自乘若干次后必可得到恒元.若iT1=五，n是R自乘得到恒元的最低幂次，则n称为元素R的阶，R生成的循环群称为R的周期.恒元的阶为1，其他元素的阶可以相等，也可以不相等，但都大于1.不同元素的周期也可
展开
