第1章 极限与连续
1.1 概念、性质与定理
1.1.1 函数
1.1.1.1 概念
1.设，如果对任意的 x ∈ X，在某个对应规则下有**的 y(y ∈ Y )与之对应，则称 y是 x的函数，记为 y = f(x). X称为函数 y = f(x)的定义域，定义域常记为 D(f)，而 f为对应规则， x为自变量， y为因变量.对固定的x ∈ D(f)，相对应的值 y常称为函数值，可由 f(x)计算，即 y = f(x).函数值的全体称为 y = f(x)的值域，常记为 R(f).这类函数称为单变量单值实函数.
2.设，如果对任意的 x =(x1， ，xn) ∈ X，在某个对应规则下有**的 y(y ∈ Y )与之对应，则称y是x或 x1， ，xn的函数，记为 y = f(x1， ，xn)或 y= f(x). X称为函数 y = f(x1， ，xn)的定义域，定义域常记为 D(f)，而 f为对应规则， xi为第 i个自变量， y为因变量.对固定的 (x1， ，xn) ∈ D(f)，相对应的值 y常称为函数值，可由 f(x1， ，xn)计算，即
y = f(x1， ，xn).函数值的全体称为 y = f(x1， ，xn)的值域，常记为 R(f).
这类函数称为多变量 (n元)单值实函数.
3.设 f(x1， ，xn)((x1， ，xn) ∈ D(f))是一个给定的函数，如果对任意的 (x1， ，xn) ∈ D(f)，存在正数 M使得 |f(x1， ，xn)| . M，则称函数 f(x1， ，xn)是有界的.
依此， f(x1， ，xn)在点 (x10 ， ，x0 )附近有界指的是，存在正数 M和 δ，使) II， n0)2 + } 得，当 (x1， ，xn) ∈ (x1) ， ，xn) I(x1 . x1 +(xn . xn0 )2 <δ } (圆形邻域)或者 (x1， ，xn) ∈ (x1， ，xn)I I|x1 . x1| < δ， ， |xn . xn| <δ (方形邻域)时，
4.设 f(x)(x ∈ D(f))是一个给定的函数，如果对任意的 x ∈ D(f)， f(.x)= f(x)成立，则称 f(x)为偶函数.如果对任意的 x ∈ D(f)， f(.x)= .f(x)成立，则称 f(x)为奇函数.
5.设 f(x)(x ∈ D(f))是一个给定的函数 ，如果存在数 T ，使得对任意的 x ∈ D(f)， f(x + T )= f(x)成立 ，则称 f(x)为周期函数 ， T为周期 ，*小的正数 T称为 f(x)的*小正周期.
6.设 f(x)(x ∈ D(f))是一个给定的函数 ，如果对任意的 x1，x2 ∈ D(f)，且 x1 <x2， f(x1) <f(x2)(f(x1) >f(x2))成立 ，则称 f(x)为单调递增 (减)函数 ;如果对任意的 x1，x2 ∈ D(f)，且 x1 <x2， f(x1) . f(x2)(f(x1) . f(x2))成立 ，则称 f(x)为单调不减 (增)函数或单调上升 (下降)函数.如果 f(x)在区间 I上单调递增 (减)，则区间 I称为 f(x)的单调递增 (减)区间 .如果 f(x)在区间 I上单调不减 (增)或单调上升 (下降)，则区间 I称为 f(x)的单调不减 (增)或单调上升 (下降)区间.
7.设 f(x)(x ∈ D(f))是一个给定的函数 ，如果对任意的 x1，x2 ∈ D(f)和对任意的数 α ∈ [0， 1]，下列不等式成立 ，且等号仅当 x1 = x2，或 α=0，或 α =1时成立，
f(αx1 + (1-α)x2) ≤ αf(x1) + (1-α)f(x2)
(f(αx1 + (1-α)x2) ≥ αf(x1) + (1-α)f(x2))，
则称 f(x)为上 (下)凹函数.
特别地，如果函数 f(x)(x ∈ D(f))是一元函数时，即对任意的 x1，x2 ∈ D(f)， α ∈ [0， 1]，下列不等式成立且等号仅当 x1 = x2，或 α =0，或 α =1时成立，
f(αx1 + (1-α)x2) ≤ αf(x1) + (1-α)f(x2)
(f(αx1 + (1-α)x2) ≥ αf(x1) + (1-α)f(x2))，
则称 f(x)为上 (下)凹函数 .如果 f(x)在区间 I上是上 (下)凹函数 ，则区间 I称为 f(x)的上 (下)凹区间.
8.动点 (x1， ，xn，f(x1， ，xn))((x1， ，xn) ∈ D(f))的轨迹称为函数 y = f(x1， ，xn)的图像.
1.1.1.2函数的运算
1.四则运算
给出函数 f(x)，x ∈ D(f)， g(x)，x ∈ D(g)，那么 f(x)与 g(x)的
和: f(x) ± g(x)， x ∈ D(f) ∩ D(g);
积: f(x)g(x)， x ∈ D(f) ∩ D(g);
商: fg((xx)) ， x ∈ D(f) ∩ D(g) .{x|g(x)=0}.
2.复合运算
给出函数 f(x)，x∈D(f)， g(x)，x ∈ D(g)，那么 f(x)与 g(x)的复合运算 (函数)为 f(g(x))， x ∈ D(g) ∩{x|g(x) ∈ D(f)}.
3.逆运算.
设 y = f(x)的定义域为 D(f)，值域为 R(f)，如果对任意一个 y ∈ R(f)，在 y = f(x)下有**的 x(x ∈ D(f))与之对应 ，则 x是 y的函数 ，并称之为 y = f(x)的反函数.反函数通常记为 y = f.1(x)，其中， y ∈ D(f)，x ∈ R(f).
1.1.1.3性质
1.函数变量的虚变量特性.
函数相同 (等)当且仅当函数关系和定义域相同 ，与用什么字母无关 ，即变量是虚拟的 .例如 ， y = f(x)，s = f(t)，u = f(x)，y = f(v)， (x， t， v ∈ D(f))是同一函数 ，或说是相同 (等)的; y = f(x， t)与 y = f(u， v)， (x， t)， (u， v) ∈ D(f)是同一函数 ; z = f(x， y， t)， z = f(u， v， w)， y = f(x， u， t)， (x， y， t)， (u， v， w)， (x， u， t) ∈ D(f)是同一函数.
2. f(x)有界的充分必要条件为存在数 A， B使得对任意的 x ∈ D(f)，A ≤ f(x) ≤ B成立.
3.如果f(x)为奇函数，则曲线 y = f(x)关于原点对称;如果 f(x)为偶函数，则曲线 y = f(x)关于 y轴对称 .如果函数有反函数 y = f(x)，则曲线 y = f(x)与 y = f.1(x)关于直线 y = x对称.
如果 fi(x)为奇 (偶)函数 ， i =1， ，n，则 f1(x)+ + fn(x)为奇 (偶)函数.当 n为偶数时， f1(x) fn(x)为偶函数;但当 n为奇数时， f1(x)？ fn(x)为奇函数.
如果 f(x)为奇函数， g(x)为偶函数，则 f(x)g(x)为奇函数.设 f(x)为任意一个函数，则 F (x)= f(x) . f(.x)为奇函数， G(x)= f(x)+ 1
f(.x)为偶函数，且 f(x)= [F (x)+ G(x)].
如果 f(x)，g(x)均为奇 (2偶)函数 ，且可复合 ，则 f(g(x))也是奇函数 ;如果 f(x)为奇函数， g(x)为偶函数，且可复合，则 f(g(x))和 g(f(x))均为偶函数.
如果 f(x)为奇 (偶)函数，其反函数为 f.1(x)也是奇 (偶)函数.
4.一元函数的图像是平面上的一条曲线 ，反之不然 ;多元函数的图像是空间中的一张曲面，反之不然.
1.1.1.4一些常用的函数
1.初等函数:幂函数、三角函数、对数函数、反三角函数和指数函数.
2.两个非初等函数
分段函数: I为区间，端点称为 f(x)的分段点;
变上限函数: F (x)=f(t)dx;
和函数: S(x)= anx n .
3.正整数集上的函数:数列:
级数部分和:
1.2极限
1.1.2.1概念
1. f(x)在 x0处的极限定义. lim f(x)= L的定义设 f(x)在 x0点附近有定义.如果 x无限接近 x0
x→x0 时， f(x)接近一个定数 L，那么，数 L是 x → x0时 f(x)在 x0点处的极限，记为 lim f(x)= L.
如果 x无限接近 x0时， f(x)不接近一个定数 L，那么，当 x → x0时 f(x)在 x0点处的极限不存在，或者说， lim f(x)不存在. x→x0
“x无限接近 x0时， f(x)接近一个定数 L”一个等价的定量定义是:对任意 ε> 0，存在 δ> 0，使得当 0 < |x-x0| <δ时， |f(x) . L| <ε成立.
“x无限接近 x0时， f(x)不接近一个定数 L”等价的更为精确的说法是:存在 ε0 > 0，对任意 δ> 0，使得当 0 < |x-x0| <δ时， |f(x) . L| . ε0成立.
为方便，以下的极限定义都用定量的定义.
lim + f(x)= L (右极限)的定义如果对任意 ε> 0，存在 δ> 0，使得当 0 <x-x0 <δ时， |f(x) . L| <ε成立.
lim + f(x)= L (左极限)的定义如果对任意 ε> 0，存在 δ> 0，使得当.δ<x-x0 < 0时， |f(x) . L| <ε成立.
2. f(x)在 ∞处的极限定义.
lim f(x)= L的定义如果对任意 ε> 0，存在 X> 0，使得当 |x| >X时， |f(x) . L| <ε成立.
lim f(x)= L (左极限 )的定义如果对任意 ε> 0，存在 X> 0，使得当 x>X时， |f(x) . L| <ε成立.
lim f(x)= L (右极限 )的定义如果对任意 ε> 0，存在 X> 0，使得当 x< .X时， |f(x) . L| <ε成立.
3.数列 an = f(n)极限成 lim an = L 的定义.
如果对任意 ε> 0，存在整数 N> 0，使得当 x>N时， |an - L| <ε成立.
4.多元函数的极限定义.
类似于一元函数，给出多元函数的极限定义，这里仅以二元函数为例.
lim f(x， y)= L的定义如果对任意 ε> 0，存在 δ> 0，使得当 0 < |x-x0| < δ， 0 < |y-y0| <δ时， |f(x， y) . L| <ε成立.
lim f(x，
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