第1章绪论
本章介绍本书涉及的部分概念与知识。主要内容包括多元Fourier变换、一元多分辨分析与正交小波简介、二元多分辨分析与张量积小波简介。
张量积小波离不开一元Fourier变换。修波也要用到Fourier变换，但与张量积小波不同的是修波用到多元Fourier变换，原因在于张量积小波是通过张量积得到的，因而可分离变量，只涉及一元Fourier变换，修波变量一般不可分离，只能用到多元Fourier变换。
修波的引进旨在克服多元张量积小波的不足，所以，需要对张量积小波有基本的了解，而张量积小波又是从一元正交小波直接导出的，因此需要简单介绍一元正交小波的内容。
1。1Rn与Rn*及其中一些集合的可逆线性变换
本节中，首先介绍Rn与Rn*及其上的运算、范数等，其次介绍Rn中一些集合的可逆线性变换，阐述这些集合经可逆线性变换以后的性态，以为R"的分割及多元积分的变换做准备。
1。1。1Rn与Rn*
设R=（-oo，oo）为实数集，R+=（0，oo）为正数集，Z={ ，—2，—1，0，1，2， 。}为整数集，Z+={1，2， 。}为正整数集。在分析数学和几何中，对neZ+，R"为坐标或分量为实数的n兀点或n维向量的集合，即。
在R？上定义“按坐标或分量加”的加法：
按“按坐标或分量乘”的数乘：
则R？成为一个线性空间。在此基础上，再定义内积：
则R"成为一个内积空间。注意，由于内积是一种“积”，遵循普通数字乘法的一些运算规则，所以x，y的内积有时也用a；1表示。本书中，根据需要选取内积的表示方式。
若对x，yeRn，xy=（x，y）=0，则称a：，y正交，Rn中互相正交的n个元素 ？，e？构成Rn的一组正交基：Rn中的任一元素都可以表为这组基中元素的线性组合。
当R"为一个线性空间时，可以定义多种范数，使其成为一个赋范线性空间，Rn上定义的常见范数如下。
无穷范数：
p范数：
特别地，当P=2时，||x||2即x的2范数称为其欧几里得范数或欧氏范数。
有了范数，就可以定义距离，使R？成为一个距离空间。例如，\fx，y？R"，定义两者的距离为
由2范数给出的R"上的几何称为欧几里得几何或欧氏几何，此时的R"称为欧几里得空间或欧氏空间，而范数和内积的关系为
本书中，若无特别说明，R"上的范数皆为这种范数，||x||2简写为hll。
若ei，e2， ，en为R"的一组正交基且此基中每个元素的范数为1，则称其为R？的一组标准正交基。Rn的一个标准正交基的任一元的实数倍构成的集合为R"的一个一维子空间，称为一个坐标轴，这n个坐标轴构成Rn的一个标准正交坐标系。
许多时候，一个n兀点？？？，xn）GR"或n维行向量（a：i，X2，？？？，xn），以及1行n列矩阵（a：i；r2？？？Xn）（或记为）被认为是同一事物。因为由代数学知道，当将R"看成元素为实数的1行n列矩阵集合时，其上定义的加法、数乘和范数与上面介绍的对应事物完全相同，只是按照矩阵的写法，元素间不写逗号，但有时为了避免诸如（123）的写法容易产生误解，元素间也加了逗号，如此，除了用方括号表示矩阵的情形，Rn中元是n元点、n维行向量还是1行n列矩阵，从形式到内容，都可以不加区别了。
在将Rn看成元素为实数的1行n列矩阵集合时，其元素间的内积除了像上面一样表示，还可以用矩阵的乘法表示：
其中T表不转置：
但在线性代数中，n维向量皆指列向量，即形如
的向量。由于在许多场合，如上面向量和形如；r=（；Ti，；T2， ，xn）的向量同时出现，此时，若用表示分量为实数的向量集合，就容易产生混乱。为此，一些资料将分量为实数的n维列向量集合记为R*，本书拟釆用这样的记法，即
与Rn—样，在上可以定义加法、数乘、内积和范数等，如
可以看出，Rn与Rn*本质上没有区别，只不过前者元素的坐标或分量横排而后者元素竖排，仅需注意在两者元素同时出现的场合，元素间的运算按自然规则进行。例如，设
为简单起见，许多文献对R"与R"*不加区别，而只在横、列向量同时出现的场合，即时予以说明。以下介绍的一些内容仅对R"进行。
本书中，R"上的拓扑为欧氏拓扑，可由圆形邻域生成，其中
1。1。2Rn上的可逆线性变换
首先指出，由前面的介绍知道，Rn与Rra*本质上相同，只是两者元素的排列方式不同，所以，对R"与Rn*中元素的线性变换，本质上也是相同的。只需注意在表示有关线性变换时，不因元素的排列问题导致混乱即可。
T为Rn上的可逆线性变换，则T为Rn到R”的线性映射。Rn最好的
一组标准正交基为
由于仍为R"中元，故必可由上述基线性表出，即存在实数使
其中（ei，e2， ，en）仅是形式地将该组基写为向量，可以看成分量自身又是向量的n维向量，这样做的好处在于：这种向量可以像一般R"中元一样进行各种运算。如此，
当线性变换t为可逆线性变换时，对应的矩阵r为可逆的矩阵。反之，由任一可逆矩阵T通过式（1。3）都可给出一个可逆线性变换，因此，在对可逆线性变换进行处理时，往往直接处理其对应的矩阵。
现在设y是R"中元x经可逆线性变换T变换后的结果，，由Rn上的运算规则，有可逆线性变换的复合仍为可逆线性变换。设为可逆线性变换，对应的可逆矩阵仍分别记为，则对任意
可见，可逆线性变换的复合得到的可逆线性变换，对应的矩阵为原变换对应矩阵的反序乘积，这一现象也常常导致麻烦：数学中常将复合运算写为运算的乘积，即将记为但由上式知，对应的矩阵却为，这为利用矩阵处理变换带来一点麻烦。
下面讨论：在什么条件下，R"的一组标准正交基ei，e2， ，en经可逆线性T变换后，得到的也为R"的一组标准正交基？为此，必须要求
其中注意ei，e2， ，e为一组标准正交基，故设r上倒数第二个等式反映的关系为其中j为n阶单位矩阵。由线性代数知道，这是r为正交矩阵的充要条件，正交矩阵的名称也由此得到。
为了以后的需要，下面讨论R-中的分割经可逆线性变换后的结果。
先给出一个定义。
定义i。i满足方程的构成的集合称为R？的一个超平面，其中不全为0。有时为叙述简单起见直接称
……
