向量与坐标
解析几何 (AnAlytic geometry)是用坐标系、代数、分析方法来研究的几何 ,又称为坐标几何 (coordinAte geometry),因为几何对象在某坐标系下用点的 n元组来描述 .通常 ,使用二维 (n = 2)或三维 (n = 3)的直角坐标系来研究平面、直线、曲面和曲线 . 1637年,笛卡儿在《方法论》的附录 “几何 ”中提出了解析几何的基本方法 .解析几何的方法不同于欧几里得几何把特定的几何概念作为基点 ,在公理和定理的基础上用演绎推理得出事实的综合方法 .解析几何使得原先两个独立的数学分支――几何和代数联系到一起 ,使得代数的很多对象有了直观的几何解释 .同时 ,利用代数和分析的知识也很方便地解决几何上的问题 .解析几何广泛应用于物理和工程中 ,是当今包括代数几何 ,微分几何 ,离散与计算几何学等众多领域的基础.
在中学数学中 ,已经涉及了向量的概念及向量的加减法的运算法则 ,本章给出了数与向量的乘法运算法则的详细证明 ;利用线性无关的向量组建立了仿射坐标系、定义了向量的坐标 ;利用向量的坐标计算力做的功 (向量的内积 )、力矩 (向量的外积 )和平行六面体的体积 (向量的混合积 );给出了这些向量运算的定义、运算规律和坐标计算公式 ,同时展示了向量运算在共点、共线、共面、平行、垂直、恒等式以及一些关于三角形经典定理证明上的应用.
1.1向量的定义、加法及数乘
1.1.1向量的定义
为了表示力学中的力、速度等这些既有大小 ,又有方向的量 ,我们引入了向量 ,并且将代数运算引到向量中去 ,来研究图形性质 .这种方法具有几何直观性 ,并且它在物理等学科中有重要的应用.此外,向量的概念及其运算也为线性代数中深入
理解向量空间提供了直观的几何背景.
下面回顾向量的相关定义.
定义 1.1.1既有大小,又有方向的量称为向量或矢量(vector).用加粗的符号 A, b, c, 来表示.向量 A的大小称为向量的长度(或模),记为 |A|.
.
→
一个向量 A可用有向线段 AB来表示,从始点 A到终点 B的指向表示 A的
.
→
方向 (图 1.1),有向线段的长度 AB 表示向量 A的大小.
图 1.1图 1.2
长度为零的向量称为零向量,记为 0.长度为 1的向量称为单位向量.与非零向量 A同向的单位向量记为 A0 .
如果一个向量 A能够由另一个向量 b经平行移动得到,则称这两个向量相等(图 1.2),显然它们方向相同大小相等,记为 A = b.大小相等,方向相反的两个向量互为反向量 (或负向量),向量 A的反向量记为 .A.
如果两个向量 A, b通过平行移动可移到同一条直线上,则称这两个向量共线或者平行,记为 A//b.平行于同一平面的一组向量称为共面的向量组.特别地,零向量与任意向量共线;共线的向量组一定共面.
讨论不同起点的任意两向量是否共面？(提示：所指向量为自由向量)
1.1.2向量的加减法
依据物理学中力、速度、位移的合成方法定义向量加法 (Addition).
.
→.
→ .→
定义 1.1.2对于向量 A, b,作有向线段 AB = A, BC = b,把 AC表示的向量 c称为向量 A与 b的和,记为 c = A + b(图 1.3),即
.
→ .
→.→
AB + BC = AC.
由此公式表示的向量加法规则称为三角形法则.
.→ .
→
从同一始点 O作 OA = A, OB = b,再以 OA, OB为边作平行四边形 OACB,
.
→
则对角线 OC也表示向量 A与 b的和 (图 1.4),这种表示和向量的方法称为向量的平行四边形法则 (pArAllelogrAm rule).在向量相等的意义下,“平行四边形法则”和 “三角形法则”等价.
图 1.3图 1.4
向量加法运算有以下性质.定理 1.1.1对于任意向量 A, b, c,有
(1) A + 0 = A;
(2) A +(.A)= 0;
(3) A + b = b + A(交换律);
(4) (A + b)+ c = A +(b + c)(结合律);
(5) |A + b| : |A| + |b| (三角不等式,等号成立当且仅当 A, b同向); | : |A1| + |A2| + ·
.
→
· · + An· · + |An| .
BB可得; BA可得;
(3)利用平行四边形法则可得;
.
→
(5的) |A1 + A2 + · 证 (1)设 A =
.
→
AB, 0 =
(2)设 A =
.
→
AB, .A =
.
→ 1.1.3数乘
.
→ (5)直接由三角形法则可得; (subtrAction)作为加法的逆运算 减法 定义如下,.+().1.1.3定义 向量的减法： bb=AA .
→1.5减法的几何意义如图 所示 即 .OAOB BA.=,.
→.
→.
→()练习证明 提示：利用字母规律 多边形法则+++ABBC CD DE AE=.,1.1.4定义 实数 与向量 的乘积 是一个向量 它的模为 ||||||λλλλ= ·AAAA.,00=0它的方向为当 时与 同向 当时与 反向 当或时则;;0λ> λ< λ =AAA ,(scAlArmultiplicAtion).我们把这种运算叫做实数和向量的乘法 简称数乘0λ=A .,.1和与它同向的单位向量 所以0= AA,根据定义若向量 或向量 则与共线λbbb==A μAA,.(讨论若向量 共线 则一定存在实数 使得 成立吗？ 提示：bb ==AμμAA,,
可得;CD.
→
(5的)可以重复运用 (5)可得.
.→ 图 1.5.→
已知向量 A 0 , A = |A| A00 = |A|A,这称为把向量 A单位化.
0, b= 0)
(4)设 A =
.
→
.
→
AB, b = BC, c =
数乘有下面性质 .
定理 1.1.2对于任意的向量 A, b和任意的实数 λ, μ,有
(1) (.1)A = .A;
(2) 0A = 0;
(3) λ(μA)=(λμ)A;
(4) (λ + μ)A = λA + μA;
(5) λ(A + b)= λA + λb.
证 (1)、(2)和 (3)直接由定义 1.1.4可得 .
(4)参见
[1, pp.3-4]若 A = 0或 λ, μ中有一个为零时 ,则 (4)显然成立 .下面
设 λμ = 0, A = 0.情形 1若 λμ > 0,则 λA与 μA同向 ,且 (λ + μ)A与 λA + μA同向 ,因此有
|λA + μA| = |λA| + |μA| =(|λ| + |μ|) |A| ,
又
|(λ + μ)A| = |λ + μ||A| =(|λ| + |μ|) |A| ,
因此 |(λ + μ)A| = |λA + μA| ,故 (λ + μ)A = λA + μA.情形 2若 λμ < 0,不妨设 λ> 0, μ< 0. 1.若 λ + μ = 0,则 (λ + μ)A = 0,而
λA + μA = λA +(.λ)A
=(λA)+(.1)(λA)
=(λA) . (λA)= 0,
故由 (2),得 (4)成立 . 2.若 λ + μ> 0,则由情形 1知
[(λ + μ)+(.μ)] A =(λ + μ)A +(.μ)A,
即得
λA =(λ + μ)A +(.μA)
=(λ + μ)A . μA,
从而有 (λ + μ)A = λA + μA. 3.若 λ + μ< 0,类似于 2.可得式 (4),留作练习 .
(5)若 λ =0或者 A, b中有一个为 0,则 (5)显然成立 .下面设 λ = 0, A = 0, b = 0.
情形 1若 A = 0, b = 0,且 A//b平行,则存在实数 μ使 b = μA,于是
λ(A + b)= λ(A + μA)= λ [(1 + μ)A]
=[λ(1 + μ)] A =[λ + λμ] A
= λA +(λμ)A = λA + λ(μA)= λA + λb.
AB = b,于CD = λb,则 DOAB ～DOCD,从而 D在直线 OB
OD = λ(A + b)= λA + λb.
.
→ .
→ .
→
情形 2若 A
.→
b,那么当 λ> 0时,如图 1.6所示,分别作
OA = A,
OB = A + b,作
.
→
.
→
是
OC = λA,
上.于是
当 λ< 0时,类似讨论.
图 1.6
例 1.1.1设点 O是平面上正多边形 A1A2 An的中心,证明：
→ → →
OA1 + OA2 + + OAn = 0.
证如图 1.7所示,因为
→ → →
OA1 + OA3 = λOA2,
→ → →
OA2 + OA4 = λOA3,
→ → →
OAn.1 + OA1 = λOAn,
→ → →
OAn + OA2 = λOA1,
→ → → → → →
所以 2(OA1 + OA2 + + OAn)= λ(OA1 + OA2 + + OAn),因此 → → →
(2 . λ)(OA1 + OA2 + + OAn)= 0.
显然 λ = 2,所以结论成立.
图 1.7
习题
2x . 3y = b,
→ → → .
→ 在例 的条件下 设是任意点 证明：1.1.1.1PPAPAPAPO+++ = n12,,.n 利用数乘运算规律解下列各题2 化简 (1)()(b)()(b);+uvA uvA ! 3+4xy = A,从向量方程组 解出向量(2)xy,. 要使下列各式成立 向量 应满足什么条件？3.bA,, |||.|||||||||||.||(1) bb;(2) bb;(3) bb++++;A = AA = AA = A|.||||||.|||.||(4) bb;(5) bb+A = AA = A. 请补充完善定理 中的证明4.1.1.2(4). 向量组的线性相关性1.2L (=12)此时也称向量 可由向量 线性表示i AA,n.,,i12),使得 ,n,, L
向量的加法和数乘的运算统称为向量的线性运算.
定义 1.2.1由向量 Ai(i =1, 2, ,n)和实数 ki(i =1, 2, ,n)所组成的向
n
量 A = kiAi称为向量组 Ai(i =1, 2, ,n)的一个线性组合 (lineAr combinAtion).
i=1
定义 1.2.2如果对于向量组 Ai(i =1, 2, ,n),存在不全为 0的实数 ki(i =
nkiAi = 0,
i=1
则称向量组 Ai(i =1, 2, ,n)线性相关;否则,称向量组线性无关 (lineAr indepen-dence).
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