第 1 章 绪 论
1.1 孤立子理论
孤立子又称孤立波. 1844 年英国科学家 Scott Russell 在英国科学促进会上做 了题为《论波动》的报告[1] , 他说：“我在观察一条船的运动, 这条船被马拉着沿狭窄 的运河迅速前进着. 船突然停了下来, 然而被船推动的那一大片水并没有停止, 而 是聚集在船头周围剧烈地扰动着, 随后水浪突然呈现出一个滚圆而平滑的轮廓分明 的巨大孤立波峰, 它以巨大速度向前, 急速地离开了船头. 在行进中它的形状和速 度没有明显的改变. 我骑在马上紧跟它, 发现它以 8?9 英里每小时的速度向前行 进, 并保持长约 30 英尺、高 1?1.5 英尺的原始形状, 渐渐地其高度下降了. 当我跟 到 1?2 英里后, 它消失在逶迤的河道中. ”
Russell 在实验室的水箱中做了大量实验, 也观察到了同样的现象, 他称这种波 为孤立波. 他认为这种孤立波应为流体力学方程的一个稳定解, 并请求当时的数学 家在理论上能给予解释, 但限于当时的科学发展水平, 人们并没有给出一个圆满的 解释.
在其后几年, 人们对孤立波的存在产生怀疑. 例如, Airy[2] 认为 Russell 所说的 孤立波根本就不存在. 但有的科学家, 如 Boussinesq[3] 认为孤立波是存在的, 并从 数学角度给出描述和证明, 他给出的描述方程就是 Boussinesq 方程. 即使如此, 有 些科学家仍否认孤立波的存在性.
1894 年, Vries 在阿姆斯特丹大学 (University of AmsterdAm) 发表了他在 Ko- rteweg 指导下的博士论文. 他提出了一种流体中单向波传波流动的数学模型, 即著 名的 KdV 方程, 用来解释 Russell 观察到的现象. 但是他的工作并没有引起人们的 重视, 因为许多人认为这种行波仅是偏微分方程的特解, 用特殊的初值即可得到它, 这在初值研究中是微不足道的; 另外人们还认为由于 KdV 方程是非线性的, 两个 孤立波相互碰撞后, 波形一定会受到破坏, 所以是不稳定的, 这对于描述物理现象 不会有帮助. 于是, KdV 方程与孤立波的研究就搁置起来.
1960 年, GArdner 和 MorikAwA[4] 在无碰撞的磁流波研究中, 重新得到了 KdV 方程; 后来 KdV 方程在不同的研究背景中不断出现, 这激起了人们对 KdV 方程的 研究兴趣. KdV 方程是可积系统与孤立子理论中的一个基本方程, 通过对它的研究 得到了一系列新的数学方法, 得到了许多新的结果, 如守恒律、HAmilton 结构、反 散射方法等.
1962 年, Perring 和 Skyrme[5] 在研究基本粒子模型时, 对 Sine-Gordon 方程做 了研究, 结果表明, 这个方程具有孤立波, 即使碰撞后两个孤立波也仍保持着原有 的形状与速度.
1965 年, ZAbusky 和 KruskAl[6] 把 KdV 方程用于等离子体的研究, 利用计算机 考察了等离子体中孤立波的互相碰撞过程, 由此进一步证实了孤立波相互作用后不 改变波形的结果. 由于这种孤立波是有类似于粒子碰撞后不变的性质, 所以他们将 孤立波命名为孤立子. 孤立子一词被广泛应用. 数学中将孤立子理解为非线性演化 方程局部化的行波解, 经过相互碰撞后, 波形与速度不改变. 从物理角度上看, 孤立 子主要包含以下两点：一是能量比较集中在一个狭小的区域; 二是两个孤立子相互 碰撞后不改变波形和速度. 20 世纪 70 年代后, 孤立子的研究取得了迅速发展, 在 数学上发现了大量具有孤立子解的非线性发展方程, 也建立了系统的研究方法, 国 内外在这方面已出版很多专著[7?15] . 孤立子理论既包括数学理论, 也包括了物理理 论. 正如 1984 年, 美国数学科学基金来源特别委员会给美国国家研究委员会的题 为 “美国数学的现在与未来” 的报告中提出的：“目前正发生一件振奋人心的大事, 这就是数学与理论物理的重新统一”“看到我们还在进入一个新的时代, 在这个时代 中数学和物理之间的界限实际上已经消失了.”
1.2 可 积 系 统
可积系统一般分为有限维可积系统与无限维可积系统. 20 世纪 70 年代末, 苏联 数学家 Arnold 从辛几何角度叙述了有限维 HAmilton 系统理论中的著名 Liouville- Arnold 定理：一个自由度为 n 的 HAmilton 系统, 若具有 n 个相互对合的首次积分 就是可积的, 即解可用积分表示出来. 其实人们对完全可积的 HAmilton 系统的认 识是反反复复的[16] . 早期的经典力学曾找到一些很好的完全可积的力学系统例子, 如 JAcobi 关于椭球面上测地线方程的积分等. 后来人们认识到多数 HAmilton 系统 并不完全可积, 且在小扰动下可积性受到破坏, 于是研究就停了下来. 可后来人们 发现, 在小扰动下虽然完全可积性被破坏, 但原问题的不变环面的一个大子集保留 下来, 组成一个复杂的具有正测度的不变 CAntor 集, 这就是著名的 KAM 理论. 有 人进一步证明, 在 Whitney 可微意义下, 扰动系统在 CAntor 集上仍是 Liouville 完 全可积的.
寻找和扩充 Liouville 完全可积的有限维 HAmilton 系统很重要, 这不仅是孤立 子理论的一个重要研究方向, 而且还是 Newton 力学和 LAgrAnge 力学等价的描述 形式, 这样就使得运动规律性在 HAmilton 形式下表现得最明显. 一切耗散可忽略 不计的真实物理过程, 包括经典性的、量子性的、相对论性的、有限和无限自由度 等都能表达成 HAmilton 体系. 寻求有限维 HAmilton 系统的关键在于找到对合的守
恒积分. 1975 年 Moses[17] 提出了著名的 CAlogero 模型和 SutherlAnd 模型的完全 可积系统. 1989 年, 曹策问[18] 提出了在位势函数和特征函数的适当约束下, LAx 对 非线性化产生有限维完全可积系统的重大思想, 其结果表现为 LAx 对的空间部分 化为一个有限维完全可积的 HAmilton 系统, 而它的时间部分恰为 N 个对合守恒积 分. 曾云波、李翊神发展了非线性化方法, 提出了在位势函数与特征函数高阶约束 条件下, 将生成有限维可积 HAmilton 系统的一般方法, 在零曲率方程范围内统一 处理了一族有限维 HAmilton 系统的分解[19,20] .
无限维可积 HAmilton 系统理论在 20 世纪 60 年代后期取得长足发展[21,22] , 由 于无限维 HAmilton 系统的对合守恒积分不能完全地将其解表示出来, 因此我们还 不完全了解无穷维 HAmilton 系统的完全可积性, 并且对于无限维可积系统的可积 性问题也没有一个确切定义. 人们通常采用两种可积定义, 即 LAx 可积与 Liouville 可积. 1981 年, Drinfeld 和 Sokolov 用 KAc-Moody 代数为工具系统地构造了 KdV 方程的 LAx 表示. 1986 年, 谷超豪、胡和生基于曲面论中的基本方程提出了一类方 程的可积性准则[23] . 1988 年, 屠规彰[24] 提出了用带约束变分计算孤立子方程族的 HAmilton 结构的方法, 即迹恒等式方法, 马文秀[25] 称其为屠格式. 利用屠格式, 人 们得到了一些具有物理背景和丰富数学结构的无限维可积 HAmilton 系统, 如文献 [26],[27].
1.3 方程族的可积耦合
可积系统的 τ 对称代数可视为孤子理论中 VirAsoro 代数的实现. 这样的 τ 对 称代数及其相应的 VirAsoro 代数都是 Lie 代数的半直和, 其中的强对称起着非理 想半直和作用[28] . 在研究 VirAsoro 代数与遗传算子的关系时, 人们提出了可积耦 合问题. 可积耦合的定义可表述如下[29] .
对于给定的一个可积系统, 我们构造一个非平凡的微分方程系统, 要求它也是 可积的, 并且包含原来的可积系统作为一个子系统. 具体地说, 给定一个演化可积
系统[29,30]
ut = K (u) . (1-1)
我们构造一个新的大可积系统
ut = K (u),
vt = S (u, v),
(1-2)
其中向量值函数 S 满足非平凡条件 ?S = 0, 而 [u] 表示由 u 及其关于空间变量
? [u]
的导数组成的一个向量, 如 [u] = (u, ux , uxx , ? ? ?), x 表示空间变量. 称系统 (1-2) 为
ut = K (u) 的一个可积耦合. 研究可积耦合不仅能推广对称问题, 而且为可积系统 的分类提供了线索.
目前, 寻求可积系统的可积耦合的方法主要有两种：1 原方程加上它的对称方 程; 2 摄动方法. 事实上, 寻找求可积耦合的一个简单方法可在零曲率表示范围中 进行. 马文秀和 Fuchssteiner[29] 利用扰动方法给出了寻求一个可积方程的可积耦 合的方法, 但这种方法计算起来相当繁杂. 于是在 2002 年, 郭福奎和张玉峰利用方 阵李代数提出了生成可积耦合的一类简便方法, 并得到了 AKNS 方程族的一类可 积耦合[30] , 但利用迹恒等式无法求出该可积耦合的 HAmilton 结构. 关于方程族的 扩展可积模型的 HAmilton 结构, 郭福奎和张玉峰提出的二次型恒等式[31] 及广义的 屠格式[32] 、马文秀提出的变分恒等式[33] 都是迹恒等式的推广, 是寻求可积耦合的 HAmilton 结构的强有力工具, 并由此成功获得了一大批扩展可积模型的 HAmilton 结构. 最近楼森岳教授获得了一个具有广泛物理意义的可积耦合模型 (2013 年潍 坊论坛 —— 留数对称及其局域化和群不变解), 为可积耦合这一方向的研究提供了 应用背景.
第 2 章 可积系统与耦合系统的相关概念
2.1 相 关 定 义
定义 2.1 设 pi , qi (i = 1, ? ? ? , n) 是力学系统的广义坐标和广义动量. 例如, 存 在 HAmilton 函数 H = H (pi , qi ), 使 pi , qi 的演化满足以下方程
dqi = ?H ,
dpi = ?H
(i = 1, 2,
, n), (2-1)
dt ?pi dt
引进泊松 (Poisson) 括号
? ?qi
? ? ?
n / ?F ?G
?F ?G \
F, G = 旦
?qj ?pj ?pj ?qj
, (2-2)
则方程 (2-1) 可改写为
j=1
q˙ =
q , H
, p˙ =
p , H
, q˙
dqi
= , p˙
dpi
= , (2-3)
i { i }
i { i }
i dt
i dt
而且 pi , qi 满足以下基本关系式：
{qi , qj } = {pi , pj } = 0, {qi , pj } = δij . (2-4)
再引进泊松括号, 且 pi , qi 满足式 (2-4) 时, 方程 (2-1) 称为 HAmilton 系统. pi , qi 也 称为动力学变量.
定义 2.2 如果存在 I = I (p , q ), 使得当 p , q 是方程 (2-1) 的解时, 有 dI = 0,
i i i i dt
则称 I 是系统 (2-1) 的一个守恒量.
如果两个互相独立的守恒量 I1 , I2 满足 {I1 , I2 } = 0, 则称 I1 , I2 是对合的.
定义 2.3 如果 HAmilton 系统 (2-1) 存在 n 个互相独立的守恒量 Ii (i =
1, 2, ? ? ? , n), 它们两两对合, 则称系统 (2-1) 是在 Liouville 意义下的可积系统.
定义 2.4 设非线性演化方程
ut = K (u), (2-5)
这里 K (u) = K (x, t, u, ux , uxx , ? ? ? ). 如果 u(x, t) 是方程 (2-5) 的解, 而函数 σ = σ(u)
满足以下线性方程 (这里 σ(u) 可能也包含变量 x, t)：
σt = K ' σ,
则称 σ(u) 是方程 (2-5) 的对称. K ' 是函数 K 在 u 点处沿 σ 方向的 G?AteAux 导数.
定义 2.5 如果一个算子 ?, 它将方程 ut = K (u) 的对称 σ 变为对称, 即若
σt = K ' σ, 有 (φσ)t = K ' (φσ), 则称算子 ? 是这个方程的强对称算子.
设 S 为定义在 R 上的 SchwArtz 空间, Sp = S ? ? ? ? ? S, 且
u(x, t) = (u1 (x, t), ? ? ? , up (x, t))T ∈ Sp , x, t ∈ R.
定义 2.6 对 ?f, g ∈ Sp , 定义它们的内积为
J
(f, g) =
J
f gdx =
p
旦 fi gi dx.
i=1
定义 2.7[34] 一个线性算子 J 称为 HAmilton 算子或辛算子, 如果 J 满足以
下条件：
(1) J ? = ?J , 即 (J f, g) = ?(f, J g), 对 ?f, g ∈ Sp ;
(2) (J ' (u)[J f ]g, h) + (J ' (u)[J g]g, f ) + (J ' (u)[J h]f, g) = 0, 即 JAcobi 恒等式成
立, 其中 J ' (u)[f ] =
d
dε J (u + εf )
|ε=0
为 G?AteAux 导数.
定义 2.8 如果线性算子 J 为 HAmilton 算子, 定义 Poisson 括号如下
/ δf
δg \
{f, g} =
若 {f, g} = 0, 则称 f, g 为对合的, 且
,
δu δu
δH
, (2-6)
ut = J δu
为广义的 HAmilton 方程, H 为 HAmilton 函数, 变分导数 δ = / δ
, ? ? ? ,
(2-7)
δf \T
,
其中
δ = 旦 (??)n ?
, ? =
δu δu1 δup
d , u(n) = ?n u .
δui
对于线性问题
(n)
i=0,1,2,??? i
dx i i
Lψ = λψ, ψt = M ψ,
其中 L, M 为 n × n 矩阵, ψ 为 n 维向量. 由相容性条件可得 LAx 方程
Lt + [L, M ] = 0. (2-8)
而对于线性问题
ψx = U ψ, ψt = V ψ,
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